Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
78
Это определение существенно отличается от (2.34). Если бы мы
определяли время увеличения ошибки в
q раз через старший ляпуновский
показатель, то получили бы, что оно равно:
0
0
0
00101
,
)(
1
)(
1
)()(
lnln
x
x
x
xxx
dp
dp
qq
q
q
τ
λ
τ
∫
∫
==
Λ
≡
Λ
. (2.36)
Здесь для ляпуновского показателя, т.е. величины в знаменателе,
использовано выражение, полученное усреднением с естественной
мерой,
27
что для эргодической системы эквивалентно усреднению по
времени.
Теперь ситуация аналогична следующей. Пусть имеются значения
случайной величины
N
xxx ,...,,
21
, и нужно оценить ее математическое
ожидание
][
x
M
. Наиболее простой путь – рассчитать эмпирическое
среднее, которое является «хорошей» оценкой:
(
)
Nxxx
N
+
+
=
...
1
. Это –
аналог формулы (2.35) для среднего времени предсказуемости. Но можно
составить и много других формул для оценки. Например, если подсчитаны
обратные значения
12
1 ,1 ,...,1
N
x
xx
, то можно оценить величину
][1 xM
как их эмпирическое среднее, и взять обратную величину. Итоговая оценка
()
]1...11[1
21 N
xxxNx +++=
′
является аналогом (2.34). Но среднее
обратных величин – это в общем случае смещенная оценка
][1 xM !
Поэтому и
x
′
– «плохая» оценка для ][
x
M
. Величины x и x
′
совпадают только при
N
xxx
=
=
= ...
21
. Для нашей задачи это означает, что
ляпуновское время совпадает с
q
τ
(с точностью до множителя qln ), только
если локальный ляпуновский показатель не зависит от
0
x , т.е. траектории
разбегаются с одной и той же скоростью в любой области фазового
пространства. Это – условие применимости формулы (2.34) даже в
линейном случае.
Итак, время предсказуемости можно и даже более логично определить
не через ляпуновский показатель. Мы покажем ниже, что ляпуновский
показатель не связан со временем предсказуемости
q
τ
, т.е. система с
большим ляпуновским показателем (более хаотичная) может иметь
большее
q
τ
, чем менее хаотическая система. Кроме того, системы с
одинаковыми значениями ляпуновского показателя могут иметь самые
различные
q
τ
. Покажем это
аналитически
на простом примере, следуя
27
Грубо, это плотность вероятности p посещения различных областей аттрактора
изображающей точкой, см., например, [104].
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
