Составители:
Рубрика:
Глава 2. Два подхода к моделированию и прогноз
79
[318]. Будем говорить для определенности о времени удвоения
возмущения
2
τ
.
Рассмотрим сначала пример, когда ляпуновское время и
2
τ
совпадают
(с точностью до множителя 2ln ). Возьмем двумерное нелинейное
отображение, которое является одной из базовых моделей нелинейной
динамики, – отображение пекаря:
<≤+
<≤
=
<≤−
<≤
=
+
+
,1,
1
,0,
,1),(
,0,
1
1
1
nn
nn
n
nn
nn
n
xy
xy
y
xx
xx
x
α
β
α
αα
ααβ
α
α
(2.37)
где
211 ==
β
α
. Это отображение сохраняет площадь (консервативное) и
отображает множество
)1,0[)1,0[
×
на себя. Инвариантная мера
удовлетворяет соотношению
1),(
=
y
x
p
. Оно названо отображением
пекаря, потому что его действия над единичным квадратом напоминают
действия пекаря с куском теста. Сначала тесто сжимается вдоль оси y в два
раза и в два раза растягивается вдоль оси x; затем разрезается пополам и
правый кусок кладется сверху на левый (параллельным переносом). Все
это умещается в одной итерации отображения (см. рис.2.9). Две близкие
точки, отличающиеся только значениями координаты x, переходят в две
точки, расстояние между которыми в два раза больше, для любого
начального условия на плоскости. Аналогично, расстояние вдоль оси y в
два раза уменьшается за одну итерацию. Так что для любой точки квадрата
старшему локальному ляпуновскому показателю соответствует
направление оси x. Он не зависит от интервала ∆t и просто равен старшему
ляпуновскому показателю: это система с равномерной скоростью
разбегания близких траекторий. Поскольку в данном случае
2ln
1
=Λ
, то
ляпуновское время равно
2ln1
=
Λ
τ
.
Время
)(
02
x
τ
для каждого начального условия равно 1, т.е.
возмущение удваивается за одну итерацию. Соответственно, и среднее
1
2
=
τ
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- …
- следующая ›
- последняя »
