Составители:
Рубрика:
Глава 2. Два подхода к моделированию и прогноз
77
Однако формула (2.35) в качестве оценки дальности прогноза
применима не всегда. Дело в том, что любое конечное возмущение в
хаотическом режиме через определенный промежуток времени нарастает
до размеров, при которых линеаризованная система (2.10) уже не
применима. Следовательно, дальнейшая эволюция возмущения уже,
строго говоря, не связана с ляпуновским показателем. Так что, если нас
интересует прогноз с точностью не очень высокой, а только практически
приемлемой, то ляпуновский показатель в общем случае не имеет
отношения к ситуации и не может накладывать ограничения на дальность
прогноза. Но если предположить, что и на больших масштабах по порядку
величины ляпуновский показатель верно характеризует скорость роста
возмущений (что во многих случаях имеет место), то с его помощью
можно охарактеризовать дальность прогноза даже если нас интересуют
конечные масштабы.
Однако при строгом рассмотрении оказывается, что даже в пределе
бесконечно малых возмущений величина ляпуновского времени не всегда
связана со временем предсказуемости системы. Рассмотрим подробнее
этот интересный факт.
2.4.2. Предсказуемость и ляпуновский показатель: случай малых
возмущений
В принципе временем предсказуемости можно по определению
назвать величину (2.34). Но могут быть и другие подходы. Один из них,
весьма простой и логичный, состоит в следующем [318]. Рассмотрим, как
ведет себя возмущение при заданном начальном условии
0
x . Согласно
определению локальных ляпуновских показателей имеем в худшем
(максимальный рост возмущения) случае
tt
ett
∆⋅∆
=∆+
),(
00
01
(
x
εε
λ
.
Определим время предсказуемости как время увеличения начального
малого возмущения в
q
раз. Смысл этого утверждения тот же самый, что и
в определении его как времени, за которое начальное возмущение
нарастает до некоторого порогового значения. Обозначим это время
),(
ln
)(
01
0
t
q
q
∆
=
x
x
λ
τ
; оно зависит от начального условия
0
x . Чтобы получить
общую характеристику предсказуемости, усредним
)(
0
x
q
τ
по
инвариантной мере
)(
0
xp , т.е. плотности распределения вероятностей на
аттракторе. Получим
000
)()( xxx dp
qq
ττ
∫
≡
. (2.35)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
