Составители:
Рубрика:
Глава 2. Два подхода к моделированию и прогноз
81
результат 4 итераций отображения пекаря (2.37). Картинка полностью
исказилась (т.е. предсказуемость плохая). Справа показан результат 4
итераций отображения (2.38) с N = 4. Значительная часть картины хорошо
сохранилась, лишь слегка деформировалась: в этой области
предсказуемость хорошая.
Рис.2.11. Иллюстрация динамики отображений (2.37) и (2.38): а) исходное множество
точек; б) его образ под действием 4 итераций отображения пекаря (2.37); в) под
действием 4 итераций отображения подмастерья пекаря (2.38) с N = 4
Особенно интересно в этом примере следующее. Не только локальные
времена предсказуемости
)(
02
x
τ
в некоторых областях больше для
отображения (2.38), чем для (2.37). Среднее время
2
τ
для (2.38) также
больше, хотя это отображение имеет больший ляпуновский показатель!
Величину
2
τ
можно найти аналитически:
α
α
τ
−
−
=
1
1
2
j
, где
−=
α
ln
2ln
j и
квадратные скобки означают наименьшее целое число, большее или равное
дроби в скобках. Можно показать, что при
∞
→
N
время предсказуемости
∞→≈
−1
2
2
N
τ
, а 2ln
1
→Λ . Результаты аналитических выкладок для
некоторых N сведены в табл.2.1: для систем столь же хаотичных, как и
(2.37) (и даже с чуть большим ляпуновским показателем) время
предсказуемости может быть сколь угодно велико!
Таблица 2.1.
Характеристики отображений (2.38) при разных N: максимальное локальное время
предсказуемости, среднее время предсказуемости, ляпуновский показатель
N
max
,
2
τ
2
τ
1
Λ
N
max
,
2
τ
2
τ
1
Λ
1 1 1.00 1.5 2ln⋅ 5 22 16.09 1.04 2ln⋅
2 3 2.31 1.31 2ln
⋅
6 45 32.49 1.02 2ln⋅
3 6 4.41 1.17
2ln
⋅
7 89 64.32 1.01
2ln⋅
4 11 8.13 1.09 2ln
⋅
Это означает, что ляпуновский показатель еще не исчерпывает
вопроса о предсказуемости системы. Хотя, конечно, определенную
информацию он несет, а если скорость разбегания траекторий однородна
по пространству, то он уместен для характеристики предсказуемости.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
