Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
90
называют потоковыми или потоками, в отличие от каскадов –
динамических систем, описывающихся точечными отображениями
),(
1
cxFx
nn
=
+
.
Термины «сечение Пуанкаре» и «отображение Пуанкаре» означают
сечение фазового пространства динамической системы множеством на
единицу меньшей размерности
1
−
D
(например, трехмерного
пространства –поверхностью, двухмерного – линией) и отображение
множества точек односторонних «проколов» этого сечения фазовой
траекторией в себя, которое связывает текущий «прокол» со следующим.
3.1.5. Иллюстративный пример
Проиллюстрируем рассмотренные термины на примере
моделирования колебаний груза на пружине в вязкой среде. Эталонной
моделью малых колебаний в вязкой среде под действием возвращающей
силы, пропорциональной отклонению от положения равновесия x, является
обыкновенное дифференциальное уравнение «линейного осциллятора»:
02
2
0
22
=++ xdtdxdtxd
ωδ
. (3.2)
Аналогично системе (2.1) для однозначного задания траектории этой
двухмерной системы необходимо указать начальные значения
0
)0( xx = и
0
)0( vdtdx = . Аналитическое решение уравнения имеет вид:
,]sincos[)(
,]sincos[)(
0
2
00
0
00
0
t
t
et
xv
tvtv
et
xv
txtx
⋅−
⋅−
+⋅
−⋅=
⋅
+
+⋅=
δ
δ
ω
ω
ωδ
ω
ω
ω
δ
ω
(3.3)
где
22
0
δωω
−= . Формула (3.3), определяющая связь между начальным
состоянием
00
,vx и последующим )(),(
t
v
t
x
, есть явное выражение для
оператора эволюции, который задается уравнением (3.2).
Другой формой записи системы (3.2) является система двух
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
,2
,
1
2
022
21
xxdtdx
xdtdx
ωδ
−⋅−=
=
(3.4)
где
xx =
1
,
dtdxx =
2
.
Она удобна для графических представлений, т.к.
явно задает поле скоростей на фазовой плоскости (рис.3.2,а). Грубо говоря,
делая очень мелкие шаги в направлении стрелок, можно из начального
состояния добраться до последующих, что и реализуется с помощью
различных алгоритмов при численном решении уравнений. Для
построения дискретного аналога уравнений (3.4) требуется перейти к
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- …
- следующая ›
- последняя »
