Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P =
2 arcsin
p
1 − (r
1
/r
2
)
2
π
=
2
π
arccos
r
1
r
2
.
ξ
F (x) = P (ξ < x) F
0
(x) (−∞ < x < +∞).
F (x) = P (ξ < x) = 0, x ≤ 0. F (x) = |x − 0|/|1 −
0| = x, 0 < x ≤ 1. F (x) = 1 x > 1. F
0
(x) = 0, x < 0
x > 1, F
0
(x) = 1, 0 < x < 1.
Ω
(X
1
, X
2
),
(X
1
, X
2
)
Ω.
X
1
< X
2
, 0 ≤ X
1
≤ X
2
.
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
p p
x
2
x
1
x
2
x
1
X
1
,
X
2
− X
1
, 1 − X
2
.
X
1
+ (X
2
− X
1
) ≥ 1 − X
2
→ X
2
≥ 1/2
X
1
+ (1 − X
2
) ≥ X
2
− X
1
→ X
2
− X
1
≤ 1/2
(X
2
− X
1
) + (1 − X
2
) ≥ X
2
→ X
1
≤ 1/2
.
A
A = {(X
1
, X
2
) : 0 ≤ X
1
≤ X
2
≤ 1, X
1
≤ 1/2,
X
2
≥ 1/2, X
2
− X
1
≤ 1/2},
Ω = {(X
1
, X
2
) : 0 ≤ X
1
≤ X
2
≤ 1},
                                    p
                               1 − (r1 /r2 )2
                         2 arcsin              2      r1
                  P =                         = arccos .
                               π               π      r2
    Çàäà÷à 2.15. Íà îòðåçîê [0,1] íàóäà÷ó áðîøåíà òî÷êà. Ïðåäïîëî-
æèâ, ÷òî åå êîîðäèíàòà ξ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà îòðåçêå [0,1],
íàéòè ôóíêöèè F (x) = P (ξ < x) è F 0 (x) (−∞ < x < +∞).
    Ðåøåíèå. F (x) = P (ξ < x) = 0, åñëè x ≤ 0. F (x) = |x − 0|/|1 −
0| = x, åñëè 0 < x ≤ 1. F (x) = 1, åñëè x > 1. F 0 (x) = 0, åñëè x < 0
èëè x > 1, F 0 (x) = 1, åñëè 0 < x < 1.
    Çàäà÷à 2.17. Íà îòðåçîê [0,1] íàóäà÷ó áðîøåíû äâå òî÷êè, ðàç-
áèâøèå åãî íà òðè îòðåçêà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç ýòèõ
îòðåçêîâ ìîæíî ïîñòðîèòü òðåóãîëüíèê? Çà ìíîæåñòâî Ω ïðèíÿòü
çíà÷åíèÿ ïàðû ÷èñåë (X1 , X2 ), ÿâëÿþùèõñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷åê íà
îòðåçêå [0,1]; ïðåäïîëîæèòü, ÷òî òî÷êà (X1 , X2 ) ðàâíîìåðíî ðàñïðå-
äåëåíà íà êâàäðàòå Ω.
    Ðåøåíèå. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè X1 < X2 , 0 ≤ X1 ≤ X2 .
Èç òðåõ îòðåçêîâ ìîæíî ïîñòðîèòü òðåóãîëüíèê, åñëè ñóììà äëèí
ëþáûõ


      xp1 xp2                äâóõ îòðåçêîâ áîëüøå èëè ðàâíà äëèíå òðå-
                             òüåãî îòðåçêà. Äëèíû îòðåçêîâ ðàâíû X1 ,
x2
     (0,1)                   X2 − X1 , 1 − X2 . Äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ íåðà-
                (1,1)
         ¡
       ¡ ¡                   âåíñòâà
       ¡
     ¡ ¡                     
       ¡                      X1 + (X2 − X1 ) ≥ 1 − X2 → X2 ≥ 1/2
     ¡                          X1 + (1 − X2 ) ≥ X2 − X1 → X2 − X1 ≤ 1/2 .
                   x1        
                (1,0)           (X2 − X1 ) + (1 − X2 ) ≥ X2 → X1 ≤ 1/2
Ïóñòü A îçíà÷àåò ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî òðè îòðåçêà ñîñòàâ-
ëÿþò òðåóãîëüíèê, òîãäà
                A = {(X1 , X2 ) : 0 ≤ X1 ≤ X2 ≤ 1, X1 ≤ 1/2,
                            X2 ≥ 1/2, X2 − X1 ≤ 1/2},
â òî âðåìÿ êàê
                        Ω = {(X1 , X2 ) : 0 ≤ X1 ≤ X2 ≤ 1},

                                        16

Страницы