Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(Ω, , P ) ξ = ξ(ω) Ω
∀x ∈ R {ω : ξ(ω) < x}
{ω : ξ(ω) < x} ∈ .
P (ξ(ω) < x)
ξ F (x) F
ξ
(x),
ξ : F
ξ
(x) = F (x) = P (ξ(ω) < x).
F (x
1
) ≤ F (x
2
), x
1
< x
2
F (−∞) = 0, F (∞) = 1
lim
x→x
0
−0
F (x) = F (x
0
)
F (x
0
) − F (x) = P (ξ < x
0
) − P (ξ < x) = P (x ≤ ξ < x
0
) → 0
x → x
0
, x < x
0
.
F (x)
(Ω, , P )
ξ = ξ(ω) P (ξ(ω) < x) = F (x).
ξ
x
1
, x
2
, ..., x
n
P (ξ = x
k
) = p
k
6= 0
P
k
p
k
= 1.
ξ| x
1
x
2
··· x
n
p| p
1
p
2
··· p
n
2.4 Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
  Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü äàíî íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî
(Ω, A, P ). Äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ξ = ξ(ω) íà Ω íàçûâàåòñÿ ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíîé, åñëè ∀x ∈ R ìíîæåñòâî {ω : ξ(ω) < x} ÿâëÿåòñÿ
ñîáûòèåì èç àëãåáðû ñîáûòèé A, ò.å. {ω : ξ(ω) < x} ∈ A. Âåðîÿò-
íîñòü P (ξ(ω) < x) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû ξ è îáîçíà÷àåòñÿ F (x) èëè Fξ (x), åñëè åñòü íåîáõîäèìîñòü
ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðå÷ü èäåò î ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èìåííî ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíû ξ : Fξ (x) = F (x) = P (ξ(ω) < x).
   Ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:
   1) F (x1 ) ≤ F (x2 ), åñëè x1 < x2 ,
   2) F (−∞) = 0, F (∞) = 1,
   3) lim F (x) = F (x0 ) (íåïðåðûâíîñòü ñëåâà). Íà ñàìîì äåëå
     x→x0 −0
F (x0 ) − F (x) = P (ξ < x0 ) − P (ξ < x) = P (x ≤ ξ < x0 ) → 0 ïðè
x → x0 , x < x0 .
    Åñëè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàäàí, òî è ñàìà
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ÷èòàåòñÿ çàäàííîé, òàê êàê äëÿ ëþáîé ôóíê-
öèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ñî ñôîðìóëèðîâàííûìè ñâîéñòâàìè âñåãäà
ìîæíî íàéòè òàêîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, A, P ) è ôóíêöèþ
ξ = ξ(ω), ÷òî èìååò ìåñòî P (ξ(ω) < x) = F (x).
    Äèñêðåòíûå è íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ñëó-
÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé, åñëè ñóùåñòâóþò ÷èñ-
ëà x1 , x2 , ..., xn (êîíå÷íîå
                          P ÷èñëî èëè ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî), òàêèå, ÷òî
P (ξ = xk ) = pk 6= 0 è pk = 1. Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè äèñêðåòíîé ñëó-
                     k
÷àéíîé âåëè÷èíû èñïîëüçóåòñÿ òàê íàçûâàåìûé ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ:
                         ξ|   x1   x2   ···   xn
                                                 .
                         p|   p1   p2   ···   pn
Ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
èìååò ñòóïåí÷àòûé õàðàêòåð:




                                   33

Страницы