Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p(x) = λe
−λx
, x > 0, λ > 0.
(ξ, η).
(x
k
, y
l
), k = 1, 2, ...; l = 1, 2, ...,
P (ξ = x
k
, η = y
l
) = p
kl
> 0
P
k=1,l=1
p
kl
= 1,
(ξ, η) ξ
λ η ξ = n
p
P (ξ = k, η = m) = p
km
= P (ξ = k)P(η = m|ξ = k) =
λ
k
e
−λ
k!
C
m
k
p
m
q
k−m
,
0 ≤ k, 0 ≤ m ≤ k.
∞
X
k=0
k
X
m=0
p
km
=
∞
X
k=0
k
X
m=0
λ
k
e
−λ
k!
C
m
k
p
m
q
k−m
=
∞
X
k=0
λ
k
e
−λ
k!
k
X
m=0
C
m
k
p
m
q
k−m
=
∞
X
k=0
λ
k
e
−λ
k!
= 1.
(ξ, η) ξ
η
ξ η
ξ η
(ξ, η)
1
4
.
Åñëè ïàðàìåòðû èìåþò âèä (0,1), òî ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàåòñÿ íîð-
ìàëüíî ñòàíäàðòíûì.
   3) Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå:

                       p(x) = λe−λx , x > 0, λ > 0.

   Ñèñòåìà ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ. Ñëó÷àéíûé âåêòîð.
    à) Äèñêðåòíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ, η). Åñëè â ðåçóëüòàòå îïû-
òà ïîÿâëÿþòñÿ äâà ÷èñëà (xk , yl ),Pk = 1, 2, ...; l = 1, 2, ..., òàêèå, ÷òî
P (ξ = xk , η = yl ) = pkl > 0 è      pkl = 1, òî ãîâîðÿò, ÷òî çàäàí
                                  k=1,l=1
äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð.
    Ïðèìåð. 1) Ïóñòü â (ξ, η) ξ îçíà÷àåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî èñïûòàíèé
ïî ñõåìå Áåðíóëëè, ïîä÷èíåííîå ðàñïðåäåëåíèþ Ïóàññîíà ñ ïàðàìåò-
ðîì λ, à η åñòü ÷èñëî óñïåõîâ ïðè ξ = n èñïûòàíèÿõ ñ âåðîÿòíîñòüþ
óñïåõà p â îòäåëüíîì èñïûòàíèè. Òîãäà

                                                         λk e−λ m m k−m
P (ξ = k, η = m) = pkm = P (ξ = k)P (η = m|ξ = k) =            Ck p q   ,
                                                           k!
ãäå 0 ≤ k, 0 ≤ m ≤ k. Ïîêàæåì, ÷òî ñóììà âñåõ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà
åäèíèöå:

X k
∞ X               X k
                  ∞ X                 ∞       k
                      λk e−λ m m k−m X λk e−λ X m m k−m
          pkm =             Ck p q  =           Ck p q
                        k!               k!
k=0 m=0           k=0 m=0                          k=0    m=0

                                ∞
                                X λk e−λ
                            =               = 1.
                                      k!
                                k=0

   2) Ïóñòü â (ξ, η) ξ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî ïîÿâëåíèÿ ãåð-
áà ïðè ïåðâîì áðîñàíèè ìîíåòû, à η îáîçíà÷àåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî
ïîÿâëåíèÿ ãåðáà ïðè âòîðîì áðîñàíèè ìîíåòû. Åñëè ïðè áðîñàíèè
ìîíåòû ïîÿâëÿåòñÿ ãåðá, òî ξ è η áóäóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå 1, åñëè
ïîÿâëÿåòñÿ öèôðà, òî çíà÷åíèÿ ξ è η áóäóò ðàâíû 0. Âîçìîæíûå çíà-
÷åíèÿ äëÿ (ξ, η): (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Âî âñåõ ñëó÷àÿõ âåðîÿòíîñòè
ðàâíû 14 .



                                      35

Страницы