Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F (x, y) = P (ξ < x, η < y).
1) 0 ≤ F ≤ 1,
2) ,
3) F (−∞, y) = F (x, −∞) = 0, F (∞, y) = F
η
(y), F (x, ∞) = F
ξ
(x).
(ξ, η).
ξ η
(ξ, η),
F (x, y) = P (ξ < x, η < y) F (x, y) =
x
R
−∞
y
R
−∞
p(u, v)dudv.
p(x, y) p(x, y) =
∂
2
F
∂x∂y
.
(ξ, η) ξ
2
+η
2
≤
R
2
. F (x, y), p(x, y).
x, y
x
y
1 4
3
5
7
2
6
x
2
+ y
2
≤ R
2
. {(u, v) : u
2
+ v
2
≤
R
2
, u ≤ x, v ≤ y, y ≥ 0}
−
√
R
2
−y
2
Z
−R
du
√
R
2
−u
2
Z
−
√
R
2
−u
2
dv +
x
Z
−
√
R
2
−y
2
du
y
Z
√
R
2
−u
2
dv =
    Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
F (x, y) = P (ξ < x, η < y). ż ñâîéñòâà:
  1) 0 ≤ F ≤ 1,
  2) íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ ïî êàæäîìó àðãóìåíòó,
  3) F (−∞, y) = F (x, −∞) = 0, F (∞, y) = Fη (y), F (x, ∞) = Fξ (x).
    á) Íåïðåðûâíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ, η). Ãîâîðÿò, ÷òî ñîâîêóï-
íîñòü äâóõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ ξ è η îáðàçóåò íåïðåðûâíûé ñëó-
÷àéíûé âåêòîð (ξ, η), åñëè èõ ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
F (x, y) = P (ξ < x, η < y) äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå F (x, y) =
 Rx Ry
        p(u, v)dudv. Íåîòðèöàòåëüíàÿ ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ
−∞ −∞
                                                           ∂ F    2
p(x, y) ñíîâà íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè. p(x, y) = ∂x∂y .
    Ïðèìåð. Ïóñòü (ξ, η) ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà ïî êðóãó ξ +η 2 ≤
                                                            2
  2
R . Íàéòè F (x, y), p(x, y).
    Ïëîñêîñòü ïåðåìåííûõ x, y ðàçáèâàåì íà 7 ÷àñòåé ñîãëàñíî ðè-
ñóíêó
                                 1         4
                                   y



                                                3
                                   5
                                                      x      2

                                       6
                             7


       Ïóñòü x2 + y 2 ≤ R2 . Òîãäà ïëîùàäü îáëàñòè 5 {(u, v) : u2 + v 2 ≤
R2 ,    u ≤ x, v ≤ y, y ≥ 0} ðàâíà
                √          √
              − ZR2 −y 2     Z2 −u2
                             R             Zx      Zy
                        du          dv +      du         dv =
                −R
                           √
                              2   2
                                         √       √
                                                   2   2
                         − R −u         −   R2 −y 2   R −u


                                       36

Страницы