Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 48 стр.

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КФУ | Казань

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ξ = ϕ(η
1
, η
2
), (η
1
, η
2
)
ξ ϕ(x, y).
P (x
k
≤ η
1
< x
k
+ ∆x
k
, y
l
≤ η
2
< y
l
+ ∆y
l
) ≈ p(x
x
, y
l
)∆x
k
∆y
l
,
Mξ
Mξ ≈
X
k,l
ϕ(x
k
, y
l
)∆x
k
∆y
l
,
∞
Z
−∞
∞
Z
−∞
ϕ(x, y)p(x, y)dxdy.
Mξ =
∞
Z
−∞
∞
Z
−∞
ϕ(x, y)p(x, y)dxdy.
(ξ, η)
M(ξ + η) =
∞
Z
−∞
∞
Z
−∞
(x + y)p(x, y)dxdy =
∞
Z
−∞
∞
Z
−∞
xp(x, y)dxdy+
+
∞
Z
−∞
∞
Z
−∞
yp(x, y)dxdy =
∞
Z
−∞
x(
∞
Z
−∞
p(x, y)dy)dx+
∞
Z
−∞
y(
∞
Z
−∞
p(x, y)dx)dy =
=
∞
Z
−∞
xp
ξ
(x)dx +
∞
Z
−∞
yp
η
(y)dy = Mξ + Mη.
   ã) Ïóñòü ξ = ϕ(η1 , η2 ), ãäå (η1 , η2 )  íåïðåðûâíûé ñëó÷àéíûé
âåêòîð è âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ξ åñòü ϕ(x, y). Èìååì

     P (xk ≤ η1 < xk + ∆xk , yl ≤ η2 < yl + ∆yl ) ≈ p(xx , yl )∆xk ∆yl ,

çíà÷èò çà ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå M ξ ìîæíî ïðèíÿòü
                         X
                   Mξ ≈     ϕ(xk , yl )∆xk ∆yl ,
                                    k,l

ãäå ñóììà ïðåäñòàâëÿåò èíòåãðàëüíóþ ñóììó äëÿ
                            Z∞ Z∞
                                    ϕ(x, y)p(x, y)dxdy.
                           −∞ −∞

Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ äëÿ ôóíêöèè îò íåïðå-
ðûâíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ïðèíèìàåòñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî:
                                Z∞ Z∞
                         Mξ =             ϕ(x, y)p(x, y)dxdy.
                                −∞ −∞

    Ïðèìåð. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû íåïðåðûâíûõ ñëó-
÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïóñòü (ξ, η)  íåïðåðûâíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð, òî-
ãäà
                     Z∞ Z∞                               Z∞ Z∞
     M (ξ + η) =             (x + y)p(x, y)dxdy =                 xp(x, y)dxdy+
                    −∞ −∞                               −∞ −∞

    Z∞ Z∞                     Z∞        Z∞                   Z∞        Z∞
+           yp(x, y)dxdy =         x(        p(x, y)dy)dx+        y(        p(x, y)dx)dy =
 −∞ −∞                       −∞      −∞                    −∞      −∞

                    Z∞                    Z∞
                =        xpξ (x)dx +           ypη (y)dy = M ξ + M η.
                    −∞                  −∞

    Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.

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