Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

[a, b].
p(x) =
½
1
b−a
, x ∈ [a, b]
0, x 6∈ [a, b]
.
Mξ =
∞
Z
−∞
xp(x)dx =
b
Z
a
x
1
b − a
dx =
1
b − a
x
2
2
¯
¯
¯
¯
b
a
=
a + b
2
.
Mξ
2
=
b
Z
a
x
2
b − a
dx =
b
2
+ ab + a
2
3
,
Dξ =
b
2
+ ab + a
2
3
−
(a + b)
2
4
=
(a − b)
2
12
.
p(x) =
1
√
2πσ
2
e
−
(x−a)
2
2σ
2
, Mξ = a,
Dξ = M(ξ −Mξ)
2
=
∞
Z
−∞
(x − a)
2
1
√
2πσ
2
e
−
(x−a)
2
2σ
2
dx.
t =
x−a
σ
,
Dξ =
σ
√
2πσ
2
∞
Z
−∞
t
2
σ
2
e
−
t
2
2
dt =
σ
2
√
2π
∞
Z
−∞
t
2
e
−
t
2
2
dt =
=
σ
2
√
2π
µ
(−t)e
−
t
2
2
¯
¯
¯
¯
∞
−∞
+
∞
Z
−∞
e
−
t
2
2
dt
= σ
2
.
   2) Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ñåãìåíòå [a, b]. Ïëîòíîñòü âåðî-
ÿòíîñòè èìååò âèä:
                           ½ 1
                    p(x) =   b−a , x ∈ [a, b] .
                             0, x 6∈ [a, b]

Íàõîäèì

              Z∞                     Zb                      ¯
                                             1         1 x2 ¯¯b   a+b
       Mξ =        xp(x)dx =              x     dx =            =     .
                                            b−a      b − a 2 ¯a    2
              −∞                     a

Àíàëîãè÷íî
                             Zb
                        2             x2      b2 + ab + a2
                   Mξ =                  dx =              ,
                                     b−a            3
                             a
ïîýòîìó
                   b2 + ab + a2 (a + b)2   (a − b)2
              Dξ =             −         =          .
                         3         4          12
   3) Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.

                            1      (x−a)2
                   p(x) = √      e− 2σ2 , M ξ = a,
                           2πσ 2
                                          Z∞
                                                          1      (x−a)2
          Dξ = M (ξ − M ξ) =     2
                                               (x − a)2 √      e− 2σ2 dx.
                                                         2πσ 2
                                         −∞
                                                                    x−a
Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ t =                           σ ,   òîãäà

                            Z∞                                 Z∞
                    σ                2 2 − t2
                                               2         σ2                t2
          Dξ = √                 t σ e             dt = √           t2 e− 2 dt =
                2πσ 2                                     2π
                            −∞                                 −∞

                     µ           ¯      Z∞         ¶
                 σ2            2 ¯∞            2
                            − t2 ¯          − t2
              = √     (−t)e      ¯    +    e     dt = σ 2 .
                  2π               −∞
                                                     −∞

   Ñâîéñòâà äèñïåðñèè.

                                               50

Страницы