Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Dξ ≥ 0,
DC = 0 C −
DCξ = C
2
Dξ,
D(ξ
1
+ ξ
2
) = Dξ
1
+ Dξ
2
ξ
1
ξ
2
D(ξ
1
+ξ
2
) = M(ξ
1
+ξ
2
−M(ξ
1
+ξ
2
))
2
= M((ξ
1
−Mξ
1
)+(ξ
2
−Mξ
2
))
2
=
= M((ξ
1
−Mξ
1
)
2
+ (ξ
2
−Mξ
2
)
2
+ 2(ξ
1
−Mξ
1
)(ξ
2
−Mξ
2
)) = Dξ
1
+ Dξ
2
,
M((ξ
1
− Mξ
1
)(ξ
2
− Mξ
2
)) = M(ξ
1
− Mξ
1
)M(ξ
2
− Mξ
2
) =
(Mξ
1
− Mξ
1
)(Mξ
2
− Mξ
2
) = 0.
cov(ξ
1
, ξ
2
) ξ
1
ξ
2
cov(ξ
1
, ξ
2
) = M((ξ
1
− Mξ
1
)(ξ
2
− Mξ
2
)) =
= M(ξ
1
ξ
2
− (Mξ
1
)ξ
2
− (Mξ
2
)ξ
1
+ Mξ
1
Mξ
2
) =
= M(ξ
1
ξ
2
) − Mξ
1
Mξ
2
− Mξ
2
Mξ
1
+ Mξ
1
Mξ
2
=
= M(ξ
1
ξ
2
) − Mξ
1
Mξ
2
.
cov(ξ, ξ) = Dξ.
D(ξ
1
+ ξ
2
) = Dξ
1
+ Dξ
2
+ 2cov(ξ
1
, ξ
2
).
ξ
1
ξ
2
cov(ξ
1
, ξ
2
) = 0.
D(c
1
ξ
1
+
c
2
ξ
2
) c
1
c
2
D(c
1
ξ
1
+ c
2
ξ
2
) = c
2
1
Dξ
1
+ c
2
2
Dξ
2
+ 2c
1
c
2
cov(ξ
1
, ξ
2
) ≥ 0
   1) Dξ ≥ 0,
   2) DC = 0 , C − ïîñòîÿííàÿ,
   3) DCξ = C 2 Dξ,
   4) D(ξ1 + ξ2 ) = Dξ1 + Dξ2 , åñëè ξ1 è ξ2 íåçàâèñèìû.
Äîêàçàòåëüñòâî ïîñëåäíåãî ñâîéñòâà:

D(ξ1 + ξ2 ) = M (ξ1 + ξ2 − M (ξ1 + ξ2 ))2 = M ((ξ1 − M ξ1 ) + (ξ2 − M ξ2 ))2 =

= M ((ξ1 − M ξ1 )2 + (ξ2 − M ξ2 )2 + 2(ξ1 − M ξ1 )(ξ2 − M ξ2 )) = Dξ1 + Dξ2 ,
òàê êàê M ((ξ1 − M ξ1 )(ξ2 − M ξ2 )) = M (ξ1 − M ξ1 )M (ξ2 − M ξ2 ) =
(M ξ1 − M ξ1 )(M ξ2 − M ξ2 ) = 0.
   Êîâàðèàöèÿ, êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè.
   Êîâàðèàöèÿ cov(ξ1 , ξ2 ) ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ξ1 è ξ2
îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

                cov(ξ1 , ξ2 ) = M ((ξ1 − M ξ1 )(ξ2 − M ξ2 )) =

             = M (ξ1 ξ2 − (M ξ1 )ξ2 − (M ξ2 )ξ1 + M ξ1 M ξ2 ) =
            = M (ξ1 ξ2 ) − M ξ1 M ξ2 − M ξ2 M ξ1 + M ξ1 M ξ2 =
                           = M (ξ1 ξ2 ) − M ξ1 M ξ2 .
Åñëè àðãóìåíòû ó êîâàðèàöèè ñîâïàäàþò, òî êîâàðèàöèÿ ïðåâðàùà-
åòñÿ â äèñïåðñèþ:
                        cov(ξ, ξ) = Dξ.
Ñ ïîìîùüþ êîâàðèàöèè ìîæíî íàïèñàòü ôîðìóëó äëÿ äèñïåðñèè
ñóììû:
            D(ξ1 + ξ2 ) = Dξ1 + Dξ2 + 2cov(ξ1 , ξ2 ).
Åñëè ξ1 è ξ2 íåçàâèñèìû, òî cov(ξ1 , ξ2 ) = 0.
     Èç ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû D(c1 ξ1 +
c2 ξ2 ) îòíîñèòåëüíî c1 è c2 :

         D(c1 ξ1 + c2 ξ2 ) = c21 Dξ1 + c22 Dξ2 + 2c1 c2 cov(ξ1 , ξ2 ) ≥ 0

ñëåäóåò, ÷òî



                                       51

Страницы