Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Dξ
1
cov(ξ
1
, ξ
2
)
cov(ξ
1
, ξ
2
) Dξ
2
≥ 0,
(cov(ξ
1
, ξ
2
))
2
≤ Dξ
1
Dξ
2
.
ρ(ξ
1
, ξ
2
) =
cov(ξ
1
, ξ
2
)
√
Dξ
1
Dξ
2
.
|ρ(ξ
1
, ξ
2
)| ≤ 1
ρ(ξ
1
, ξ
2
) = 0, ξ
1
ξ
2
ξ
2
= Aξ
1
+ B, ρ(ξ
1
, ξ
2
) = A.
cov(ξ
1
, ξ
2
) = cov(ξ
1
, Aξ
1
+ B) = Acov(ξ
1
, ξ
1
) = ADξ
1
,
Dξ
2
= A
2
Dξ
1
,
ρ(ξ
1
, ξ
2
) =
ADξ
1
p
Dξ
1
A
2
Dξ
1
=
A
|A|
.
X Y
(X, Y )
ρ
XY
.
(X, Y )
X \ Y
MX = 1 ·
48
90
+ 2 ·
30
90
=
6
5
,
MX
2
= 1 ·
48
90
+ 4 ·
30
90
=
28
15
,
DX =
28
15
−
36
25
=
32
75
.
                        Dξ1             cov(ξ1 , ξ2 )
                                                      ≥ 0,
                        cov(ξ1 , ξ2 )   Dξ2

òî åñòü (cov(ξ1 , ξ2 ))2 ≤ Dξ1 Dξ2 .
   Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè îïðåäåëÿåòñÿ êàê
                                         cov(ξ1 , ξ2 )
                           ρ(ξ1 , ξ2 ) = √             .
                                           Dξ1 Dξ2
   Ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè.
   1) |ρ(ξ1 , ξ2 )| ≤ 1,
   2) ρ(ξ1 , ξ2 ) = 0, åñëè ξ1 è ξ2 íåçàâèñèìû,
   3) Ïóñòü ξ2 = Aξ1 + B, òîãäà ρ(ξ1 , ξ2 ) = sign A.
   Íà ñàìîì äåëå

         cov(ξ1 , ξ2 ) = cov(ξ1 , Aξ1 + B) = Acov(ξ1 , ξ1 ) = ADξ1 ,

                                Dξ2 = A2 Dξ1 ,
îòêóäà
                                         ADξ1               A
                     ρ(ξ1 , ξ2 ) = p                 =         .
                                        Dξ1 A2 Dξ1         |A|

2.5.1 6-îå ïðàêòè÷åñêîå ççàíÿòèå. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäà-
      íèå
  Çàäà÷à 14.389. Èç óðíû, ñîäåðæàùåé 6 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ øàðà,
íàóäà÷ó èçâëåêàþò 2 øàðà áåç âîçâðàùåíèÿ. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû:
X  ÷èñëî áåëûõ øàðîâ â âûáîðêå, Y  ÷èñëî ÷åðíûõ øàðîâ â
âûáîðêå. Îïèñàòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X, Y ) è
âû÷èñëèòü ρXY .
   Ðåøåíèå. Òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X, Y )
èìååò âèä:
 X \Y        0      1      2       M X = 1 · 48        30   6
                                              90 + 2 · 90 = 5 ,
   0         0      0 12/90                    48
                                   M X 2 = 1 · 90 + 4 · 30    28
                                                        90 = 15 ,
   1         0 48/90       0
   2     30/90      0      0       DX = 28      36    32
                                          15 − 25 = 75 .



                                         52

Страницы