Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

MY = 1 ·
48
90
+ 2 ·
12
90
= −
4
5
, MY
2
=
16
15
, DY =
32
75
, M(XY ) =
48
90
,
cov(X, Y ) =
48
90
−
24
25
= −
32
75
, ρ
XY
= −1.
X
Y,
(X, Y )
X Y.
(X, Y )
X \ Y
X,
Y. X Y
τ, τ
P (τ = k) = pq
k−1
, q = 1 − p, k = 1, 2, 3, ...,
Mτ =
∞
X
k=1
kP (τ = k) =
∞
X
k=1
kpq
k−1
=
= p
∞
X
k=1
kq
k−1
= p(
∞
X
k=1
q
k
)
0
= p(
q
1 − q
)
0
=
p
(1 − q)
2
=
1
p
.
η
1
, η
2
−
Mη
1
, Mη
2
, Dη
1
,
Dη
2
.
M Y = 1 · 48         12       4
            90 + 2 · 90 = − 5 , M Y
                                    2 = 16 , DY = 32 , M (XY ) = 48 ,
                                        15        75             90
              48  24     32
cov(X, Y ) = 90 − 25 = − 75 , ρXY = −1.
    Çàäà÷à 14.397. ×èñëî X âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì èç ìíî-
æåñòâà öåëûõ ÷èñåë {1, 2, 3}. Çàòåì èç òîãî æå ìíîæåñòâà âûáèðàåò-
ñÿ íàóäà÷ó ÷èñëî Y, áîëüøåå ïåðâîãî èëè ðàâíîå åìó. Îïèñàòü çàêîí
ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X, Y ) è îïðåäåëèòü, çàâèñèìû
èëè íåçàâèñèìû ñëó÷àéíûå êîìïîíåíòû X è Y.
    Ðåøåíèå. Òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X, Y )
èìååò âèä:

                      X \Y         1         2           3
                        1        1/9       1/9         1/9     1/3
                        2          0       1/6         1/6     1/3
                        3          0         0         1/3     1/3
                                 1/9      5/18       11/18
 ýòîé òàáëèöå ïîñëåäíèé ñòîëáåö ïðåäñòàâëÿåò ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ
äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, à ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà  ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ
äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y çàâèñèìû,
òàê êàê ñîâìåñòíûå âåðîÿòíîñòè íå ðàâíû ïðîèçâåäåíèþ îòäåëüíûõ
âåðîÿòíîñòåé.
   Çàäà÷à 6.1. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âåëè÷èíû τ, ãäå τ
 ÷èñëî èñïûòàíèé â ñõåìå Áåðíóëëè äî ïîÿâëåíèÿ ïåðâîãî óñïåõà
âêëþ÷èòåëüíî.
   Ðåøåíèå. P (τ = k) = pq k−1 , q = 1 − p, k = 1, 2, 3, ...,
                           ∞
                           X                          ∞
                                                      X
                    Mτ =         kP (τ = k) =               kpq k−1 =
                           k=1                        k=1

             ∞
             X                   ∞
                                 X                    q 0       p      1
        =p         kq k−1 = p(         q k )0 = p(       ) =        2
                                                                      = .
                                                     1−q     (1 − q)   p
             k=1                 k=1
   Çàäà÷à 6.8. Èç 100 êàðòî÷åê ñ ÷èñëàìè 00, 01, 02, . . . , 98, 99
íàóäà÷ó âûíèìàåòñÿ îäíà. Ïóñòü η1 , η2 − ñîîòâåòñòâåííî ñóììà è
ïðîèçâåäåíèå öèôð íà âûíóòîé êàðòî÷êå. Íàéòè M η1 , M η2 , Dη1 ,
Dη2 .

                                            53

Страницы