Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Mx
k
= a, Dx
k
= 0.01,
∆
P
µ
¯
¯
¯
¯
x
1
+ x
2
+ ··· + x
10
10
− a
¯
¯
¯
¯
< ∆
= 0.99.
ξ
P (ξ ≥ 0) = 1, ∀² > 0 P (ξ ≥ ²) ≤
Mξ
²
.
ξ
Mξ =
∞
Z
−∞
xp(x)dx =
∞
Z
0
xp(x)dx ≥
∞
Z
²
xp(x)dx ≥ ²
∞
Z
²
p(x)dx = ²P (ξ ≥ ²).
ξ
Mξ =
X
k
x
k
p
k
=
X
x
k
≥0
x
k
p
k
≥ ²
X
x
k
≥²
p
k
= ²P (ξ ≥ ²).
P (|ξ −Mξ| ≥ ²) ≤
Dξ
²
2
.
P (|ξ −Mξ| ≥ ²) = P ((ξ − Mξ)
2
≥ ²
2
) ≤
M(ξ −Mξ)
2
²
2
=
Dξ
²
2
.
ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
n
lim
n→∞
n
P
k=1
Dξ
k
n
2
= 0, lim
n→∞
P
Ã
¯
¯
¯
¯
¯
n
P
k=1
ξ
k
n
−
n
P
k=1
Mξ
k
n
¯
¯
¯
¯
¯
< ²
!
= 1.
P
Ã
¯
¯
¯
¯
¯
n
P
k=1
ξ
k
n
−
n
P
k=1
Mξ
k
n
¯
¯
¯
¯
¯
≥ ²
!
= P
Ã
¯
¯
¯
¯
¯
n
P
k=1
µ
ξ
k
− Mξ
k
n
¯
¯
¯
¯
¯
≥ ²
!
≤
ðàñïðåäåëåííûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ñ M xk = a, Dxk = 0.01,
ïîäîáðàòü ∆ òàê, ÷òîáû
              µ¯                          ¯    ¶
               ¯ x1 + x2 + · · · + x10    ¯
            P ¯¯                          ¯
                                       − a¯ < ∆ = 0.99.
                         10
                                                                         Îòâåò: 0.08145...

2.6 Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë
  Ëåììà. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íåîòðèöàòåëüíà, ò.å.
P (ξ ≥ 0) = 1, òîãäà ∀² > 0 P (ξ ≥ ²) ≤ M² ξ .
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñíà÷àëà ξ ðàñïðåäåëåíî íåïðåðûâíî. Òî-
ãäà
       Z∞                     Z∞               Z∞                 Z∞
Mξ =        xp(x)dx =              xp(x)dx ≥        xp(x)dx ≥ ²        p(x)dx = ²P (ξ ≥ ²).
       −∞                     0                ²                  ²

Åñëè ξ ðàñïðåäåëåíî äèñêðåòíî, òîãäà
               X          X            X
         Mξ =     xk pk =    xk pk ≥ ²   pk = ²P (ξ ≥ ²).
                        k             xk ≥0            xk ≥²

   Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà. P (|ξ − M ξ| ≥ ²) ≤                           Dξ
                                                                       ²2
                                                                          .
   Äîêàçàòåëüñòâî.
                                                               M (ξ − M ξ)2  Dξ
    P (|ξ − M ξ| ≥ ²) = P ((ξ − M ξ)2 ≥ ²2 ) ≤                        2
                                                                            = 2 .
                                                                    ²         ²
   Òåîðåìà. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ξ2 , ..., ξn íåçàâèñèìû è
            P
            n
                                         ï P ξk
                                             n     Pn
                  Dξk                     ¯            M ξk ¯¯    !
            k=1                           ¯ k=1    k=1       ¯
     lim                    = 0, òî lim P ¯      −           ¯ < ² = 1.
    n→∞       n2                    n→∞   ¯ n          n     ¯

   Äîêàçàòåëüñòâî.
                                    µ         ¶
     ï P ξk   P                 P
         n      n                 n
                        ¯
                   M ξk ¯  !  ï     ξk − M ξk ¯¯  !
      ¯                        ¯
      ¯ k=1    k=1      ¯      ¯ k=1            ¯
    P ¯      −          ¯≥² =P ¯                ¯≥² ≤
      ¯ n          n    ¯      ¯        n       ¯

                                               57

Страницы