Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ξ
k
k
x
k
| 0 | 1
p
k
| q | p
,
Mξ
k
= 0·q+1·p = p Mξ
2
= 0
2
·q+1
2
·p = p, Dξ = mξ
2
i
−(M ξ
i
)
2
=
p − p
2
= pq, ξ
1
+ ξ
2
+ ···ξ
n
= µ
n
.
n
k=1
ξ
k
n
=
µ
n
n
.
ξ −
f(t) = f
ξ
(t) =
Me
iξt
= M(cos(ξt) + i sin(ξt)).
f =
X
k
e
ix
k
t
p
k
=
∞
X
k=0
e
ix
k
t
λ
k
k!
e
−λ
= e
−λ
∞
X
k=0
(λe
it
)
k
k!
= e
−λ+λe
it
.
[a, b].
f(t) = M exp(iξt) =
∞
Z
−∞
e
ixt
p(x)dx =
b
Z
a
exp(ixt)
b − a
dx =
e
ibt
− e
iat
it(b − a)
.
f(t) =
∞
Z
−∞
e
ixt
p(x)dx =
1
√
2πσ
2
∞
Z
−∞
e
ixt−
(x−a
2
)
2σ
2
dx.
x−a
σ
= u.
f(t) =
1
√
2πσ
2
∞
Z
−∞
e
i(a+σu)t−
u
2
2
σdu =
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ξk îïèñûâàåò ðåçóëüòàò k-ãî èñïûòàíèÿ
è èìååò ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ
                                                                xk | 0 | 1
                                                                           ,
                                                                pk | q | p
òîãäà M ξk = 0·q+1·p = p, M ξ 2 = 02 ·q+12 ·p = p, Dξ = mξi2 −(M ξi )2 =
p − p2 = pq, ξ1 + ξ2 + · · · ξn = µn . Ïîñëå ýòîãî òåîðåìà Áåðíóëëè
ïðåäñòàâëÿåò ÷àñòíûé ñëó÷àé ñëåäñòâèÿ òåîðåìû ×åáûøåâà, òàê êàê
P
n
      ξk
k=1            µn
  n        =   n .


2.7 Ïðåäåëüíûå òåîðåìû
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè. Ïóñòü ξ − ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïî îïðåäåëåíèþ åñòü f (t) = fξ (t) =
M eiξt = M (cos(ξt) + i sin(ξt)).
   Ïðèìåðû:
   1) Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà.
               X                        ∞
                                        X                    k                          ∞
                                                                                        X
                         ixk t                        ixk t λ −λ                   −λ     (λeit )k                  it
       f=            e           pk =             e                  e        =e                         = e−λ+λe .
                                                                k!                              k!
                k                       k=0                                             k=0

      2) Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ñåãìåíòå [a, b].
                                             Z∞                                   Zb
                                                          ixt                           exp(ixt)      eibt − eiat
      f (t) = M exp(iξt) =                            e         p(x)dx =                         dx =             .
                                                                                         b−a          it(b − a)
                                            −∞                                    a

      3) Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
                                  Z∞                                                   Z∞
                                                                              1                     (x−a2 )
                    f (t) =             e   ixt
                                                  p(x)dx = √                                eixt−     2σ 2    dx.
                                                            2πσ 2
                                 −∞                                                   −∞
                                  x−a
Ñäåëàåì çàìåíó:                    σ    = u. Òîãäà
                                                                 Z∞
                                                      1                                  u2
                                 f (t) = √                                ei(a+σu)t−      2   σdu =
                                          2πσ 2
                                                                −∞


                                                                         59

Страницы