Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

≤
D
Ã
n
k=1
µ
ξ
k
−Mξ
k
n
!
²
2
=
D
n
P
k=1
ξ
k
n
2
²
2
→ 0.
ξ
n
ξ
ξ
n
P
−→
n→∞
ξ ∀ ² > 0 lim
n→∞
P
µ
¯
¯
¯
¯
ξ
n
− ξ
¯
¯
¯
¯
< ²
= 1.
n
P
k=1
ξ
k
n
−
n
P
k=1
Mξ
k
n
P
−→
n→∞
0.
ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
n
Dξ
i
≤ C, ∀² > 0
lim
n→∞
P
Ã
¯
¯
¯
¯
¯
n
P
k=1
ξ
k
n
−
n
P
k=1
Mξ
k
n
¯
¯
¯
¯
¯
< ²
!
= 1.
lim
n→∞
n
k=1
Dξ
k
n
2
= 0.
n
k=1
Dξ
k
n
2
≤
n
k=1
C
n
2
=
C
n
→ 0 n → ∞.
ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
n
∀² > 0
lim
n→∞
P
Ã
¯
¯
¯
¯
¯
n
P
k=1
ξ
k
n
− a
¯
¯
¯
¯
¯
< ²
!
= 1,
a = Mξ
k
.
µ
n
p
∀² > 0 lim
n→∞
P
µ
¯
¯
¯
¯
µ
n
n
− p
¯
¯
¯
¯
< ²
= 1.
                                        µ              ¶
                                Ã   P
                                    n
                                            ξk −M ξk
                                                           !
                                    k=1                                P
                                                                       n
                            D                n                    D        ξk
                                                                   k=1
                        ≤            =            → 0.
                           ²2                                      n2 ²2
Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
    Ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü ξn ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè
                              µ¯        ¯ ê¶ ξ (÷òî îáîçíà÷àåòñÿ òàê:
    P                          ¯        ¯
ξn −→ ξ ), åñëè ∀ ² > 0 lim P ¯¯ξn − ξ ¯¯ < ² = 1.
   n→∞                  n→∞
Äîêàçàííàÿ âûøå òåîðåìà ôîðìóëèðóåòñÿ òàê:
                                     P
                                     n               P
                                                     n
                                            ξk             M ξk
                                    k=1              k=1           P
                                                 −                −→ 0.
                                        n                  n      n→∞

   Òåîðåìà ×åáûøåâà: Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ξ2 , ..., ξn ïî-
ïàðíî íåçàâèñèìû è Dξi ≤ C, òî äëÿ ∀² > 0

                              ï P ξk   P
                                  n      n
                               ¯            M ξk ¯¯    !
                               ¯ k=1    k=1       ¯
                         lim P ¯      −           ¯ < ² = 1.
                        n→∞    ¯ n          n     ¯
                                                       P
                                                       n
                                                            Dξk
Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî lim                          k=1
                                                           n2
                                                                  = 0. Ýòî î÷åâèäíî, òàê êàê
                                             n→∞
P
n               P
                n
      Dξk           C
k=1
  n2
            ≤= Cn → 0 ïðè n → ∞.
                k=1
                 n2
   Ñëåäñòâèå. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ξ2 , ..., ξn ïîïàðíî íåçà-
âèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, èìåþò êîíå÷íóþ äèñïåðñèþ, òî
äëÿ ∀² > 0
                        ï P ξk
                            n
                                   ¯    !
                         ¯         ¯
                         ¯ k=1     ¯
                   lim P ¯      − a¯ < ² = 1,
                  n→∞    ¯ n       ¯
ãäå a = M ξk .
      Òåîðåìà Áåðíóëëè. Ïóñòü µn  ÷èñëî óñïåõîâ â èñïûòàíèÿõ
Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ p ïîÿâëåíèÿ
                             µ¯        ¯ óñïåõà
                                            ¶ â îòäåëüíîì èñïû-
                               ¯ µn    ¯
òàíèè. Òîãäà äëÿ ∀² > 0 lim P ¯¯ n − p¯¯ < ² = 1.
                        n→∞


                                                       58

Страницы