Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
τ
n
=
ξ
0
√
χ
2
n
/n
.
X = (X
1
, ..., X
n
)
(a, σ
2
)
¯
X
m
2
¯
X (a,
σ
2
n
)
nm
2
σ
2
χ
2
n − 1
Y
k
=
X
k
−a
σ
. Y
k
Z =
¡
Z
1
, ..., Z
n
¢
= Y C =
¡
Y
1
, ..., Y
n
¢
1/
√
n ···
· ···
1/
√
n ···
,
C (C
T
C = 1),
1/
√
n,
Z
1
=
Y
1
+ ··· + Y
n
√
n
=
√
n
¯
Y ,
¯
Y =
P
n
k=1
Y
k
n
,
¯
X =
P
n
k=1
X
k
n
=
P
n
k=1
(σY
k
+ a)
n
= σ
¯
Y + a = a +
σZ
1
√
n
,
nm
2
σ
2
=
n
σ
2
P
n
k=1
(X
k
−
¯
X)
2
n
=
n
X
k=1
(Y
k
−
¯
Y )
2
=
n
X
k=1
(Y
2
k
− 2Y
k
¯
Y +
¯
Y
2
) =
=
n
X
k=1
Y
2
k
− n
¯
Y
2
=
n
X
k=1
Z
2
k
− Z
2
1
=
n
X
k=2
Z
2
k
= χ
2
n−1
.
   Ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Òàê íà-
çûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû τn = √ ξ02 . Ôóíêöèÿ
                                                                        χn /n
ðàñïðåäåëåíèÿ âû÷èñëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ. ż
çíà÷åíèÿ òàêæå òàáóëèðîâàíû.

3.5     Òåîðåìû î ðàñïðåäåëåíèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ
       âûáîðî÷íûìè ìîìåíòàìè äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðå-
       äåëåíèÿ
Òåîðåìà 1. Åñëè ýëåìåíòû âûáîðêè X = (X1 , ..., Xn ) ðàñïðåäåëåíû
íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (a, σ 2 ) è íåçàâèñèìû, òî íåçàâèñèìû X̄
                                                             2
è m2 , ïðè÷åì X̄ ðàñïðåäåëåíî íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (a, σn ), à
nm2
 σ2
     ïîä÷èíåíî ðàñïðåäåëåíèþ χ2 ñ n − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì âåëè÷èíû Yk = Xkσ−a . Yk ðàñïðåäåëåíû
íîðìàëüíî-ñòàíäàðòíî. Ïóñòü
                                               √          
            ¡           ¢       ¡            ¢ 1/ n · · ·
        Z = Z1 , ..., Zn = Y C = Y1 , ..., Yn  ·    ··· ,
                                                  √
                                                1/ n · · ·

ãäå C  îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà (C T C = 1), ó êîòîðîé ýëåìåíòû
                                             √
ïåðâîãî ñòîëáöà îäèíàêîâû è ðàâíû 1/ n, à îñòàëüíûå ýëåìåíòû
ïðîèçâîëüíû. Èìååì:
                                                    Pn
                  Y1 + · · · + Yn √                       Yk
            Z1 =       √           = nȲ , Ȳ = k=1 ,
                          n                            n
            Pn           Pn
              k=1 Xk            (σYk + a)                      σZ1
       X̄ =          = k=1                   = σ Ȳ + a = a + √ ,
               n                  n                               n
           Pn                    n                  n
nm2     n k=1 (Xk − X̄)2 X                    2
                                                   X
     =                       =      (Yk − Ȳ )  =     (Yk2 − 2Yk Ȳ + Ȳ 2 ) =
 σ2     σ2       n
                                      k=1                  k=1
                n
                X                     n
                                      X                   n
                                                          X
            =         Yk2 − nȲ 2 =         Zk2 − Z12 =         Zk2 = χ2n−1 .
                k=1                   k=1                 k=2




                                            79

Страницы