Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z = Y C
n
P
k=1
Y
2
k
=
n
P
k=1
Z
2
k
.
¯
X−a
√
m
2
√
n − 1
(n − 1)
¯
X − a
√
m
2
√
n − 1 =
σZ
1
/
√
n
q
σ
2
χ
2
n
−
1
/n
=
Z
1
q
χ
2
n
−
1
/n
= τ
n−1
.
(X
1
, X
2
, ..., X
n
), X
k
, k = 1, ..., n,
MX
k
= a, DX
k
= σ
2
k
σ
k
X
1
, X
2
, ..., X
n
a
∗
a
a
∗
= α
1
X
1
+···+α
n
X
n
, Ma
∗
= a(α
1
+···+
α
n
), Da
∗
= α
2
1
σ
2
1
+ ···+ α
2
n
σ
2
n
. Ma
∗
= a, α
1
+ ···+ α
n
= 1.
α
2
1
σ
2
1
+···+α
2
n
σ
2
n
α
1
+ ··· + α
n
= 1.
∂
∂α
i
{α
2
1
σ
2
1
+ ··· + α
2
n
σ
2
n
+ λ(α
1
+ ··· + α
n
− 1)} = 0,
2σ
2
i
α
i
+ λ = 0, α
i
= −
λ
2σ
2
i
.
X
α
i
= −
λ
2
X
1
σ
2
i
= 1, λ = −
2
n
P
i=1
1
σ
2
i
, a
∗
=
n
X
k=1
X
k
σ
2
i
/
n
X
i=1
1
σ
2
i
.
x
1
, ..., x
n
¯
X
k
=
1
k
k
P
i=1
x
i
, S
k
=
k
P
i=1
(x
i
−
¯
X
k
)
2
, k = 1, 2, ..., n.
¯
X
k+1
−
¯
X
k
¯
X
l+1
−
¯
X
l
 õîäå âû÷èñëåíèé ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî ïðè îðòîãîíàëüíîì
                                   Pn        Pn
ïðåîáðàçîâàíèè Z = Y C èìååò ìåñòî     Yk2 =     Zk2 .
                                   k=1       k=1
                              √
   Òåîðåìà 2. Âåëè÷èíà √ X̄−a
                           m2 n − 1 ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ
Ñòüþäåíòà ñ (n − 1) ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
    Äîêàçàòåëüñòâî.
                                √
           X̄ − a √      σZ1 / n          Z1
            √      n−1= q             =q          = τn−1 .
              m2         σ 2 χ2n−1 /n    χ2n−1 /n

3.5.1     9-îå ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå. Òî÷å÷íûå îöåíêè
  Çàäà÷à 9.7. Ïî âûáîðêå (X1 , X2 , ..., Xn ), ãäå Xk , k = 1, ..., n, íåçà-
âèñèìû, M Xk = a, DXk = σk2 (σk èçâåñòíû), íàéòè íåñìåùåííóþ
ëèíåéíóþ îòíîñèòåëüíî X1 , X2 , ..., Xn îöåíêó a∗ ïàðàìåòðà a ñ íàè-
ìåíüøåé äèñïåðñèåé.
    Ðåøåíèå. Ïóñòü a∗ = α1 X1 +· · ·+αn Xn , òîãäà M a∗ = a(α1 +· · ·+
αn ), Da∗ = α12 σ12 + · · · + αn2 σn2 . Òàê êàê M a∗ = a, òî α1 + · · · + αn = 1.
Çíà÷èò, íóæíî íàéòè ìèíèìóì ôóíêöèè α12 σ12 +· · ·+αn2 σn2 ïðè óñëîâèè
α1 + · · · + αn = 1. Ïðèìåíÿåì ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ ìíîæèòåëåé
Ëàãðàíæà, ïîëó÷àåì:
           ∂
             {α2 σ 2 + · · · + αn2 σn2 + λ(α1 + · · · + αn − 1)} = 0,
          ∂αi 1 1
                                                         λ
                        2σi2 αi + λ = 0, αi = −              .
                                                        2σi2
      X                                                           n    n
                   λX 1               2        X Xk X 1
          αi = −         = 1, λ = − n   , a∗ =       /     .
                   2   2
                      σi           P 1           σi2   σi2
                                                                 k=1   i=1
                                                  σi2
                                            i=1

    Çàäà÷à 9.9(à). Ïóñòü x1 , ..., xn  íåçàâèñèìûå íîðìàëüíî ðàñ-
ïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ïàðàìåòðàìè (0, 1). Ïîëîæèì
         P
         k           P
                     k
X̄k = k1   xi , Sk =   (xi − X̄k )2 , k = 1, 2, ..., n.
        i=1           i=1
Äîêàçàòü, ÷òî à) âåëè÷èíû X̄k+1 − X̄k è X̄l+1 − X̄l íåçàâèñèìû; á)

                                       80

Страницы