Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

S
n
n −1
l < k.
cov(
¯
X
k+1
−
¯
X
k
,
¯
X
l+1
−
¯
X
l
) = cov(
¯
X
k+1
,
¯
X
l+1
) − cov(
¯
X
k+1
,
¯
X
l
)−
−cov(
¯
X
k
,
¯
X
l+1
) + cov(
¯
X
k
,
¯
X
l
) =
1
(k + 1)(l + 1)
l+1
X
i=1
DX
i
+
1
kl
l
X
i=1
DX
i
−
−
1
(k + 1)l
k
X
i=1
DX
i
−
1
k(l + 1)
l+1
X
i=1
DX
i
= 0.
S
k+1
=
k+1
P
i=1
(x
i
−
¯
X
k+1
)
2
=
k
P
i=1
(x
i
−
¯
X
k
+
¯
X
k
−
¯
X
k+1
)
2
+(x
k+1
−
¯
X
k+1
)
2
=
k
P
i=1
µ
(x
i
−
¯
X
k
) + 2(x
i
−
¯
X
k
)(
¯
X
k
−
¯
X
k+1
) + (
¯
X
k
−
¯
X
k+1
)
2
+
+
µ
(k + 1)
¯
X
k+1
− k
¯
X
k
−
¯
X
k+1
2
= S
k
+ k(k + 1)(
¯
X
k
−
¯
X
k+1
)
2
.
D(
p
k(k + 1)(
¯
X
k
−
¯
X
k+1
)
2
) = D
kx
k+1
− x
1
− ··· − x
k
p
k(k + 1)
=
k
2
+ k
k(k + 1)
= 1.
S
n
=
n−1
X
k=1
k(k + 1)(
¯
X
k
−
¯
X
k+1
)
2
.
X
1
, ..., X
n
P (X
k
= m) =
λ
m
m!
e
−λ
, m = 0, 1, ...,
λ
∗
λ.
Mλ
∗
, Dλ
∗
.
L =
λ
X
1
X
1
!
e
−λ
λ
X
2
X
2
!
e
−λ
···
λ
X
n
X
n
!
e
−λ
=
λ
n
i=1
X
i
n
Q
k=1
X
k
!
e
−nλ
,
âåëè÷èíà Sn èìååò ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ñ n − 1 ñòåïåíÿìè ñâî-
áîäû.
   Ðåøåíèå. à) Ëèíåéíûå êîìáèíàöèè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âå-
ëè÷èí íåçàâèñèìû, åñëè èõ êîâàðèàöèÿ ðàâíà íóëþ. Ïóñòü l < k.

   cov(X̄k+1 − X̄k , X̄l+1 − X̄l ) = cov(X̄k+1 , X̄l+1 ) − cov(X̄k+1 , X̄l )−

                                                                    X           l+1           l
                                                           1                1 X
−cov(X̄k , X̄l+1 ) + cov(X̄k , X̄l ) =                                DXi +     DXi −
                                                     (k + 1)(l + 1)         kl
                                                                                i=1          i=1

                             X       k        X                           l+1
                       1                 1
                −              DXi −            DXi = 0.
                    (k + 1)l         k(l + 1)
                                    i=1                                   i=1

           P
           k+1                  Pk
á) Sk+1 =      (xi − X̄k+1 )2 =    (xi − X̄k + X̄k − X̄k+1 )2 +(xk+1 − X̄k+1 )2
      µ    i=1                  i=1                                ¶
   Pk
                                                                 2
=      (xi − X̄k ) + 2(xi − X̄k )(X̄k − X̄k+1 ) + (X̄k − X̄k+1 ) +
  i=1
     µ                            ¶2
    + (k + 1)X̄k+1 − k X̄k − X̄k+1 = Sk + k(k + 1)(X̄k − X̄k+1 )2 .

  p                              kxk+1 − x1 − · · · − xk    k2 + k
D( k(k + 1)(X̄k − X̄k+1 )2 ) = D      p                  =          = 1.
                                        k(k + 1)           k(k + 1)
                                    n−1
                                    X
                       Sn =                k(k + 1)(X̄k − X̄k+1 )2 .
                                    k=1

    Çàäà÷à 9.10. Èñïîëüçóÿ ìåòîä íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ, íàé-
                                                                                      m
òè ïî âûáîðêå X1 , ..., Xn , ãäå P (Xk = m) = λm! e−λ , m = 0, 1, ...,
îöåíêó λ∗ ïàðàìåòðà λ. Áóäåò ëè ýòà îöåíêà íåñìåùåííîé è ñîñòîÿ-
òåëüíîé? Íàéòè M λ∗ , Dλ∗ .
   Ðåøåíèå.
                                                                                 P
                                                                                 n
                                                                                      Xi
                    λX1        −λ   λX2        −λ         λXn        −λ     λi=1
             L=            e               e        ···          e        = n       e−nλ ,
                    X1 !            X2 !                  Xn !              Q
                                                                               Xk !
                                                                            k=1


                                                      81

Страницы