Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

M(X
(1)
− a)
2
=
∞
Z
a
(x − a)
2
ne
n(a−x)
dx =
2
n
2
→ 0
n → ∞.
x
in
1
, ..., x
in
i
i = 1, ..., I
(a, σ
2
);
¯x
i
=
1
n
i
n
i
X
k=1
x
ik
, s
2
i
=
1
n
i
− 1
n
i
X
k=1
(x
ik
− ¯x
i
)
2
.
¯x =
I
P
i=1
c
i
¯x
i
, c
i
= (1/s
2
i
)/(1/s
2
1
+...+1/s
2
I
),
a.
n
1
n
2
m σ
2
.
¯
X
1
,
¯
X
2
, S
2
1
S
2
2
¯
X =
n
1
¯
X
1
+ n
2
¯
X
2
n
1
+ n
2
, S
2
=
(n
1
− 1)S
2
1
+ (n
2
− 1)S
2
2
n
1
+ n
2
− 2
,
m σ
2
.
x
1
, x
2
, ..., x
n
R(0, 1).
˜m =
1
2
(x
(1)
+ x
(n)
),
x
(1)
x
(n)
m.
                          Z∞
                                                  2
           M (X(1) − a)2 = (x − a)2 nen(a−x) dx = 2 → 0
                                                 n
                               a

ïðè n → ∞. Îöåíêà ñîñòîÿòåëüíàÿ.

                      Çàäà÷è äîìàøíåãî çàäàíèÿ.

   Çàäà÷à 9.8. Ïóñòü xin1 , ..., xini , i = 1, ..., I ,  íåçàâèñèìûå íîð-
ìàëüíî ðàñïðåäåëåííûå âåëè÷èíû ñ ïàðàìåòðàìè (a, σ 2 );
                         ni                    ni
                      1 X                  1 X
              x̄i =         xik , s2i =           (xik − x̄i )2 .
                      ni                ni − 1
                         k=1                         k=1

                                   P
                                   I
Ïîêàçàòü, ÷òî âåëè÷èíà x̄ =              ci x̄i , ãäå ci = (1/s2i )/(1/s21 + ... + 1/s2I ),
                                   i=1
ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé îöåíêîé a.
     Çàäà÷à 15.117. Ðàññìîòðèì äâå âûáîðêè îáúåìîâ n1 è n2 èç îä-
íîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñî ñðåäíèì m è äèñïåðñèåé σ 2 . Ïóñòü
X̄1 , X̄2 , S12 è S22  íåñìåùåííûå îöåíêè ñðåäíèõ è äèñïåðñèé, îïðå-
äåëåííûå ïî ýòèì âûáîðêàì. Ïîêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåííûå îöåíêè,
âû÷èñëÿåìûå ïî ôîðìóëàì

                n1 X̄1 + n2 X̄2        (n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22
         X̄ =                   , S2 =                           ,
                    n1 + n2                  n1 + n2 − 2

áóäóò íåñìåùåííûìè è ñîñòîÿòåëüíûìè îöåíêàìè m è σ 2 .
   Çàäà÷à 15.119. Ïóñòü x1 , x2 , ..., xn  âûáîðêà èç ãåíåðàëüíîé ñî-
âîêóïíîñòè, èìåþùåé ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå R(0, 1). Ïîêàçàòü,
÷òî ñòàòèñòèêà
                             1
                      m̃ = (x(1) + x(n) ),
                             2
ãäå x(1) è x(n)  ñîîòâåòñòâåííî íàèìåíüøèé è íàèáîëüøèé ýëåìåíòû
âûáîðêè, ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé ìàòåìàòè-
÷åñêîãî îæèäàíèÿ m.




                                           83

Страницы