Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X = (X
1
, ..., X
n
) P (X
i
< x) = F (x, Θ),
Θ
Θ(X
1
, ..., X
n
), Θ(X
1
, ..., X
n
), X = (X
1
, ..., X
n
) Θ(X) <
Θ(X) P (Θ(X) < Θ < Θ(X)) = 1 − 2α, (Θ(X), Θ(X))
Θ, 1 −2α 2α
X = (X
1
, ..., X
n
)
(a, σ
2
).
a, σ
2
. X
N(a, σ
2
/n),
¯
X−a
σ/
√
n
N(0, 1).
1
√
2π
∞
R
u
α
e
−
x
2
2
dx = α. P
µ
¯
¯
¯
¯
(
¯
X−a)
√
n
σ
¯
¯
¯
¯
<
u
α
= 1 −2α.
¯
X −
u
α
σ
√
n
< a <
¯
X +
u
α
σ
√
n
.
a, σ
2
.
¯
X−a
√
m
2
√
n −1 τ
n−1
.
P (|τ
n−1
| < t
α,n−1
) = 1 −2α,
¯
X −
m
2
√
n −1
t
α,n−1
< a <
¯
X +
m
2
√
n − 1
t
α,n−1
.
σ
2
, a. X
N(a, σ
2
),
X
k
−a
σ
N(0, 1).
S
2
=
n
P
k=1
(X
k
− a)
2
, S
2
/σ
2
χ
2
n
.
P (χ
2
n
> u
n,α
) = α, P (χ
2
n
> u
n,1−α
) = 1 − α,
P (u
n,1−α
< χ
2
n
< u
n,α
) = P (χ
2
n
< u
n,α
) − P (χ
2
n
< u
n,1−α
) =
= 1 −α −(1 − (1 − α)) = 1 − 2α.
3.6 Èíòåðâàëüíûå îöåíêè
Ïóñòü äàíà âûáîðêà X = (X1 , ..., Xn ) ñ P (Xi < x) = F (x, Θ), ãäå
Θ  íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð. Ïóñòü óäàåòñÿ íàéòè òàêèå ôóíêöèè
Θ(X1 , ..., Xn ), Θ(X1 , ..., Xn ), ÷òî äëÿ âñåõ X = (X1 , ..., Xn ) Θ(X) <
Θ(X) è P (Θ(X) < Θ < Θ(X)) = 1 − 2α, òîãäà (Θ(X), Θ(X))  äîâå-
ðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ Θ, 1 − 2α  äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü, 2α
 óðîâåíü çíà÷èìîñòè.
   Ïðèìåð. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ ïàðàìåòðîâ íîðìàëü-
íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü X = (X1 , ..., Xn )  âûáîðêà, ýëåìåíòû êî-
òîðîé íåçàâèñèìû è ðàñïðåäåëåíû íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (a, σ 2 ).
   1) Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ a, åñëè èçâåñòíî σ 2 . X ïîä÷è-
                                                                X̄−a
íÿåòñÿ íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ N (a, σ 2 /n), òîãäà σ/           √  ïîä-
                                                                     n
                                                              µ¯            ¯
                                     R
                                     ∞    x2                    ¯ (X̄−a) n ¯¯
                                                                        √
                                  1     −
÷èíÿåòñÿ N (0, 1). Ïóñòü √2π e 2 dx = α. Òîãäà P ¯              ¯
                                                                      σ     ¯ <
  ¶                                 uα

uα = 1 − 2α. Ïîýòîìó äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë èìååò âèä:

                             uα σ         uα σ
                        X̄ − √ < a < X̄ + √ .
                               n            n

    2) Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ a, åñëè íåèçâåñòíî σ 2 .
X̄−a
     √
√
  m2   n − 1 ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ñòüþäåíòà τn−1 . Åñëè
P (|τn−1 | < tα,n−1 ) = 1 − 2α, òî äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë èìååò âèä:
                      m2                     m2
               X̄ − √    tα,n−1 < a < X̄ + √    tα,n−1 .
                     n−1                    n−1
   3) Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ σ 2 , åñëè èçâåñòíî a. Òàê êàê X
ïîä÷èíÿåòñÿ N (a, σ 2 ), òî Xkσ−a  ïîä÷èíÿåòñÿ N (0, 1). Åñëè ââåñòè
      Pn
S2 =     (Xk − a)2 , òî S 2 /σ 2 áóäåò ïîä÷èíÿòüñÿ ðàñïðåäåëåíèþ χ2n .
       k=1
Ïîëîæèì P (χ2n > un,α ) = α, òîãäà òàêæå P (χ2n > un,1−α ) = 1 − α, è
èìååì

       P (un,1−α < χ2n < un,α ) = P (χ2n < un,α ) − P (χ2n < un,1−α ) =

                    = 1 − α − (1 − (1 − α)) = 1 − 2α.

                                      84

Страницы