Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ln L = −nλ +
n
X
i=1
X
i
ln λ −
n
X
i=1
ln(X
i
!),
∂ ln L
∂λ
= −n +
1
λ
n
X
i=1
X
i
= 0,
λ
∗
=
n
P
i=1
X
i
n
.
Mλ
∗
=
n
i=1
MX
i
n
= λ, λ
∗
P (|λ
∗
− λ| ≥ ²) ≤
Dλ
∗
²
2
→ 0 n → ∞, λ
∗
m = Mξ (X
1
, X
2
, ..., X
n
)
m
∗
= X
1
.
Mm
∗
= MX
1
= m.
P (|m
∗
−m| ≥ ²) = P(|X
1
−m| ≥ ²) ≤
DX
1
²
2
.
X
1
m
∗
X
p(x), e
a−x
x ≥ a x < a.
a X
1
, X
2
, ...., X
n
X a
∗
= X
(1)
=
min
1≤i≤n
X
i
.
F
X
(x) =
x
R
a
e
a−u
du = 1 − e
a−x
, x ≥ a.
F
X
(1)
= P (X
(1)
< x) = 1 − P (X
(1)
≥ x) = 1 −
n
Y
i=1
P (X
i
> x) =
= 1 − (1 − F
X
(x))
n
= 1 − e
n(a−x)
, x ≥ a.
MX
(1)
=
∞
R
a
xne
n(a−x)
dx = a +
1
n
6= a.
P (|X
(1)
− a| ≥ ²) ≤
M(X
(1)
− a)
2
²
2
,
                      n
                      X                 n
                                        X                                    n
                                                        ∂ ln L        1X
 ln L = −nλ +               Xi ln λ −         ln(Xi !),        = −n +    Xi = 0,
                                                         ∂λ           λ
                      i=1               i=1                                 i=1
                                                P
                                                n
                                                      Xi
                                         ∗      i=1
                                        λ =                .
                                                    n
           P
           n
               M Xi
M λ∗ = i=1 n    = λ, λ∗  íåñìåùåííàÿ îöåíêà. P (|λ∗ − λ| ≥ ²) ≤
Dλ  ∗
 ²2
      → 0 ïðè n → ∞, ïîýòîìó λ∗  ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà.
     Çàäà÷à 15.116. B êà÷åñòâå îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
m = M ξ ïî âûáîðêå (X1 , X2 , ..., Xn ) ïðåäëàãàåòñÿ âçÿòü ñòàòèñòèêó
m∗ = X1 . Ïðîâåðèòü íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü ýòîé îöåíêè.
     Ðeøåíèå. Íåñìåùåííîñòü: M m∗ = M X1 = m. Ñîñòîÿòåëüíîñòü:
P (|m∗ −m| ≥ ²) = P (|X1 −m| ≥ ²) ≤ DX  ²2
                                           1
                                             . Îòñþäà íå ñëåäóåò, ÷òî ýòà
âåðîÿòíîñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, çàäàííàÿ ñëó÷àé-
íàÿ âåëè÷èíà X1 íå ìîæåò ñòðåìèòüñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ïîñòîÿííîé
âåëè÷èíå. Ïîýòîìó m∗  íåñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà.
     Çàäà÷à 15.118. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ðàñïðåäåëåíèå ñ
ïëîòíîñòüþ p(x), ðàâíîé ea−x ïðè x ≥ a è íóëþ ïðè x < a. Äëÿ
îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà a ïî âûáîðêå X1 , X2 , ...., Xn äëÿ ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíû X ïðåäëàãàåòñÿ âûáðàòü ñòàòèñòèêó a∗ = X(1) =
 min Xi . Ïðîâåðèòü íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü ýòîé îöåíêè.
1≤i≤n
                                 Rx
   Ðåøåíèå. FX (x) = ea−u du = 1 − ea−x , x ≥ a.
                                 a

                                                                  n
                                                                  Y
    FX(1) = P (X(1) < x) = 1 − P (X(1) ≥ x) = 1 −                       P (Xi > x) =
                                                                  i=1

                  = 1 − (1 − FX (x))n = 1 − en(a−x) , x ≥ a.
           R∞                             1
M X(1) =        xnen(a−x) dx = a +        n   6= a. Îöåíêà ñìåùåííàÿ.
           a

                                                      M (X(1) − a)2
                        P (|X(1) − a| ≥ ²) ≤                        ,
                                                           ²2


                                               82

Страницы