Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x = x
i
y
i
= β
0
+β
1
x
i
+···+β
l
x
k−1
i
+δ
i
, i = 1, ..., n. δ
i
(a, σ
2
)
Y =
y
1
·
·
·
y
n
, X =
1 1 ··· 1
x
1
x
2
··· x
n
· · ··· ·
· · ··· ·
· · ··· ·
x
k−1
1
x
k−1
2
··· x
k−1
n
,
δ =
δ
1
·
·
·
δ
n
, β =
β
0
·
·
·
β
k−1
.
Y = X
T
β + δ, δ = Y − X
T
β. β.
Q =
n
X
i=1
δ
2
i
= δ
T
δ = (Y −X
T
β)
T
(Y −X
T
β) =
= Y
T
Y −(Y
T
X
T
β +β
T
XY )+β
T
XX
T
β = Y
T
Y −2β
T
XY +β
T
XX
T
β.
Q
∂Q
∂β
l
= 0, l = 0, 1, ..., k − 1.
Z = XY =
z
0
·
·
·
z
k−1
,
β
T
XY =
k−1
P
i=1
β
i
z
i
∂(β
T
XY )
∂β
l
=
∂
∂β
l
k−1
P
i=1
β
i
z
i
= z
l
= (XY )
l
.
S = XX
T
= (s
ij
), i, j = 0, ..., k − 1.
∂
∂β
l
(β
T
XX
T
β) =
∂
∂β
l
(
k−1
X
i,j=0
s
ij
β
i
β
j
) = 2
k−1
X
j=0
s
lj
β
j
= 2(Sβ)
l
.
ïðè çàäàííûõ x = xi : yi = β0 + β1 xi + · · · + βl xk−1
                                                    i     + δi , i = 1, ..., n. δi 
îøèáêè èçìåðåíèé, êîòîðûå íåçàâèñèìû è ðàñïðåäåëåíû íîðìàëüíî
ñ ïàðàìåòðàìè (a, σ 2 ). Óäîáíî èñïîëüçîâàòü ìàòðè÷íûå îáîçíà÷åíèÿ:
                                                                  
                                1        1        ··· 1
                 y1             x1
              ·                         x2       · · · xn      
                              ·         ·        · · ·  ·       
         Y =          
              · ,X =  ·
                                                                  ,
                                                                   
              ·                         ·        ··· ·          
                                ·         ·        ··· ·          
                 yn                 k−1      k−1             k−1
                                  x1       x2       · · · xn
                                                   
                            δ1                β0
                           ·           ·           
                                                   
                              
                    δ =  · ,β =  ·                .
                                                      
                           ·           ·           
                            δn                βk−1
òîãäà Y = X T β + δ, δ = Y − X T β. Íóæíî íàéòè β.
   2) Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ðàññìîòðèì
                      n
                      X
              Q=            δi2 = δ T δ = (Y − X T β)T (Y − X T β) =
                      i=1

= Y Y −(Y X β +β T XY )+β T XX T β = Y T Y −2β T XY +β T XX T β.
     T        T   T

                                 ∂Q
Òðåáóåì ìèíèìóìà ýòîé ôóíêöèè Q: ∂β l
                                      = 0, l = 0, 1, ..., k − 1. Îáî-
çíà÷èì                               
                                z0
                              ·      
                                     
                             
                    Z = XY =  ·      ,
                                      
                              ·      
                                zk−1
                   P
                   k−1
                                      ∂(β T XY )        ∂    P
                                                             k−1
òîãäà β T XY =              βi zi è      ∂βl       =   ∂βl         βi zi = zl = (XY )l . Îáî-
                  i=1                                        i=1
çíà÷èì S =     XX T =        (sij ), i, j = 0, ..., k − 1. Òîãäà
                                         k−1                       k−1
          ∂                  ∂ X                  X
             (β T XX T β) =     ( sij βi βj ) = 2   slj βj = 2(Sβ)l .
         ∂βl                ∂βl
                                        i,j=0                      j=0


                                                94

Страницы