Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α (α),
(α) = (I
n
− X
T
S
−1
X) = n − (X
T
S
−1
X) = n −
(XX
T
S
−1
) = n − (SS
−1
) = n − (I
k
) = n − k.
α n − k.
MQ
0
= Mδ
T
αδ = M
n
X
i,j=1
α
ij
δ
i
δ
j
=
n
X
i,j=1
α
ij
Mδ
i
δ
j
= σ
2
n
X
i=1
α
ii
=
= σ
2
(α) = σ
2
(n − k).
s
2
=
Q
0
n − k
,
Ms
2
= σ
2
s
2
σ
2
.
Q
0
= e
T
e = (Oδ)
T
α (Oδ),
Q
0
σ
2
∝ χ
2
n−k
.
D(β
∗
− β) = cov(β
∗
− β, β
∗T
− β
T
) = cov(S
−1
Xδ, δ
T
X
T
S
−1
) =
= S
−1
Xcov(δ, δ
T
)X
T
S
−1
= σ
2
S
−1
XX
T
S
−1
= σ
2
S
−1
,
D(β
∗
− β)
i
= σ
2
(S
−1
)
ii
.
(β
∗
− β)
i
p
σ
2
(S
−1
)
ii
∝ N(0, 1),
Q
0
σ
2
(n − k)
=
s
2
σ
2
∝
χ
2
n−k
n − k
(β
∗
− β)
i
p
σ
2
(S
−1
)
ii
:
r
s
2
σ
2
=
(β
∗
− β)
i
p
s
2
(S
−1
)
ii
∝ τ
n−k
.
σ
2
β
i
.
β
i
t
l0
β
0
+t
l1
β
1
+···+t
l(k−1)
β
k−1
=
t
l
, l = 1, ..., m.
T β = t, T =
t
10
··· t
1(k−1)
· ··· ···
· ··· ···
· ··· ···
t
m0
··· t
m(k−1)
, t =
t
1
·
·
·
t
m
.
ñóììà äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû α, îáîçíà÷àåìàÿ ñëåä(α),
ðàâíà: ñëåä(α) = ñëåä(In − X T S −1 X) = n − ñëåä(X T S −1 X) = n −
ñëåä(XX T S −1 ) = n − ñëåä(SS −1 ) = n − ñëåä(Ik ) = n − k. Â èòîãå
ðàíã ìàòðèöû α ðàâåí å¼ ñëåäó n − k.
   Âû÷èñëèì
                         Xn             n
                                        X                   n
                                                            X
   M Q0 = M δ T αδ = M      αij δi δj =   αij M δi δj = σ 2   αii =
                            i,j=1               i,j=1             i=1

                         = σ 2 ñëåä(α) = σ 2 (n − k).
Îòñþäà, åñëè
                                    Q0
                                    s2 = ,
                                   n−k
òî M s2 = σ 2 è s2 åñòü íåñìåùåííàÿ îöåíêà äëÿ σ 2 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
òàê êàê Q0 = eT e = (Oδ)T αdiag (Oδ), òî Q 0
                                          σ2
                                             ∝ χ2n−k . Ðàññìîòðèì

    D(β ∗ − β) = cov(β ∗ − β, β ∗T − β T ) = cov(S −1 Xδ, δ T X T S −1 ) =
         = S −1 Xcov(δ, δ T )X T S −1 = σ 2 S −1 XX T S −1 = σ 2 S −1 ,
çíà÷èò D(β ∗ − β)i = σ 2 (S −1 )ii .  èòîãå èìååì
             (β ∗ − β)i                   Q0      s2  χ2
            p               ∝ N (0, 1), 2        = 2 ∝ n−k
              σ 2 (S −1 )ii            σ (n − k)  σ   n−k
è                                    r
                    (β ∗ − β)i         s2     (β ∗ − β)i
                  p                :       = p              ∝ τn−k .
                     σ 2 (S −1 )ii     σ2      s2 (S −1 )ii
Ïîñëåäíèå ñîîòíîøåíèÿ  èñòî÷íèêè äëÿ ïîëó÷åíèÿ èíòåðâàëüíûõ
îöåíîê äëÿ σ 2 è βi .
     5) Ëèíåéíûå ãèïîòåçû. Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êîýôôèöè-
åíòû βi äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì: tl0 β0 +tl1 β1 +· · ·+tl(k−1) βk−1 =
tl , l = 1, ..., m.  ìàòðè÷íîé çàïèñè ìû èìååì:
                                                                  
                                  t10 · · · t1(k−1)              t1
                              ·       ··· ···                · 
                                                                  
            T β = t, T =     ·       ··· ···        ,t =  · .
                                                                   
                              ·       ··· ···                · 
                                  tm0 · · · tm(k−1)              tm

                                           96

Страницы