Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(y
i
− a
∗
x
i
− b
∗
)
2
= δ
2
i
+
1
n
2
(
n
X
k=1
δ
k
)
2
+
x
2
i
(
n
P
k=1
x
2
k
)
2
(
n
X
j=1
x
j
δ
j
)
2
−
−
2δ
i
n
n
X
k=1
δ
k
−
2x
i
δ
i
n
P
k=1
x
2
k
n
X
j=1
x
j
δ
j
+
2
n
n
X
l=1
δ
l
x
i
n
P
k=1
x
2
k
n
X
j=1
x
j
δ
j
,
σ
2
∗
=
1
n
·
n
X
k=1
δ
2
k
+
(
n
P
k=1
δ
k
)
2
n
+
¡
n
P
j=1
x
j
δ
j
¢
2
n
P
k=1
x
2
k
−
2
n
µ
(
n
X
k=1
δ
k
)
2
+n
(
n
P
j=1
x
j
δ
j
)
2
n
P
k=1
x
2
k
¶¸
=
=
1
n
·
n
X
k=1
δ
2
k
−
1
n
µ
n
X
k=1
δ
k
2
−
(
n
P
k=1
x
k
δ
k
2
(
n
P
k=1
x
k
)
2
¸
.
Mδ
2
k
= σ
2
. Mσ
2
∗
=
1
n
(nσ
2
+ σ
2
+ σ
2
− 2σ
2
− 2σ
2
) =
n − 2
n
σ
2
.
y
i
f(x) = ax
2
+ bx + c,
x
i
= 0.2 + 0.5(i − 1), i = 1, ..., 10. a =
1, b = 2, c = −1 y
i
= x
2
+ 2x − 1 + δ
i
,
i = 1, 2, ..., 10, δ
i
Mδ
i
=
0, Dδ
i
= 0.06.
a
∗
, b
∗
, c
∗
a, b, c.
σ
2
= 0.06, σ ≈ 0.25.
σ = 1
x
2
i
+ 2x
i
− 1.
                                                          n                   n
                     ∗               ∗ 2              1 X 2           x2i     X
          (yi − a xi − b ) =                  δi2   + 2(     δk ) + n       (   xj δj )2 −
                                                     n               P 2 2
                                                         k=1       (   xk ) j=1
                                                                                     k=1
                         n
                         X                            n
                                                      X                         n
                                                                                X                    n
                   2δi                     2xi δi                           2                  xi X
               −                 δk −                       xj δj +                      δl             xj δj ,
                    n                      P
                                           n
                                                                            n                 P
                                                                                              n
                         k=1                  x2k     j=1                       l=1               2
                                                                                                 xk j=1
                                           k=1                                                k=1

                                     P
                                     n                ¡P
                                                       n              ¢2                         P
                                                                                                 n
               ·X
                n                (        δk )2             xj δj              µX  n           (    xj δj )2 ¶¸
  ∗        1                     k=1                  j=1                    2                  j=1
σ2 =                     δk2 +                    +                        −    (     δk )2 +n                  =
           n                          n                 P
                                                        n
                                                                             n                    Pn
               k=1                                              x2k               k=1                xk 2
                                                          k=1                                                      k=1
                                                                                                      ¶2
                                                                                     P
                                                                                     n
                                     ·X
                                      n                µ n            ¶2         (            xk δk        ¸
                            1                         1 X                        k=1
                          =                 δk2   −              δk          −                                 .
                            n                         n                            P
                                                                                   n
                                     k=1                   k=1                       (         xk )2
                                                                                      k=1

                                      ∗       1                                     n−2 2
      M δk2 = σ 2 . M σ 2 =                     (nσ 2 + σ 2 + σ 2 − 2σ 2 − 2σ 2 ) =    σ .
                                              n                                      n
      Çàäà÷à 9.18. Ïóñòü yi  çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (x) = ax2 + bx + c,
èçìåðåííûå â òî÷êàõ xi = 0.2 + 0.5(i − 1), i = 1, ..., 10. Ïðè a =
1, b = 2, c = −1 íàéòè ðåàëèçàöèþ âûáîðêè yi = x2 + 2x − 1 + δi ,
i = 1, 2, ..., 10, ãäå δi íåçàâèñèìû è íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåíû ñ M δi =
0, Dδi = 0.06. Ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ïîëó÷èòü îöåíêè
a∗ , b∗ , c∗ ïàðàìåòðîâ a, b, c. Ñðàâíèòü ýòè îöåíêè ñ èçâåñòíûìè èñ-
òèííûìè çíà÷åíèÿìè.
     Ðåøåíèå. Åñëè σ 2 = 0.06, òî σ ≈ 0.25. Èç òàáëèöû íîðìàëüíî
ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë ñ σ = 1 áåðåì 10 ÷èñåë, ïåðåäâè-
ãàÿñü ïî ñòðîêàì ñëåâà íàïðàâî. Ýòè ÷èñëà äåëèì íà ÷åòûðå, ê íèì
ïðèáàâëÿåì x2i + 2xi − 1. Â èòîãå èìååì:

      x     0.200|0.700|l.200|1.700|2.200|2.700|3.2000|3.7000|4.200|4.700
      y     -.446|0.923|3.441|5.210|8.223|11.76|15.569|20.369|25.05|29.94




                                                                98

Страницы