Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a, b, c a
∗
, b
∗
, c
∗
,
Θ(a, b, c) =
10
X
i=1
(y
i
− (c + bx
i
+ ax
2
i
))
2
.
Θ(a, b, c),
∂Θ
∂a
= 0,
∂Θ
∂b
= 0,
∂Θ
∂c
= 0 a, b, c :
n
P
i=1
(y
i
− (c + bx
i
+ ax
2
i
)) = 0
n
P
i=1
(y
i
− (c + bx
i
+ ax
2
i
))x
i
= 0
n
P
i=1
(y
i
− (c + bx
i
+ ax
2
i
))x
2
i
= 0
,
cn + b
n
P
i=1
x
i
+ a
n
P
i=1
x
2
i
=
n
P
i=1
y
i
c
n
P
i=1
x
i
+ b
n
P
i=1
x
2
i
+ a
n
P
i=1
x
3
i
=
n
P
i=1
x
i
y
i
c
n
P
i=1
x
2
i
+ b
n
P
i=1
x
3
i
+ a
n
P
i=1
x
4
i
=
n
P
i=1
x
2
i
y
i
.
a
∗
, b
∗
c
∗
.
β =
c
b
a
, Y =
y
1
·
·
·
y
10
, X =
1 1 ··· 1
x
1
x
2
··· x
10
x
2
1
x
2
2
··· x
2
10
=
=
1 1 ··· 1
.2 .7 ··· 4.7
.04 .49 ··· 22.09
.
Ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ â êà÷åñòâå îöåíêè ïàðàìåòðîâ
a, b, c ïðèíèìàþòñÿ çíà÷åíèÿ a∗ , b∗ , c∗ , äàþùèå ìèíèìóì ôóíêöèè
                                 10
                                 X
                  Θ(a, b, c) =         (yi − (c + bxi + ax2i ))2 .
                                 i=1

Èç íåîáõîäèìûõ óñëîâèé ìèíèìóìà ôóíêöèè Θ(a, b, c), ò.å. èç ∂Θ
                                                            ∂a = 0,
∂Θ      ∂Θ
∂b = 0, ∂c = 0 ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ a, b, c :
                 n
                  P
                
                     (yi − (c + bxi + ax2i )) = 0
                
                
                
                 Pi=1
                    n
                      (yi − (c + bxi + ax2i ))xi = 0 ,
                
                  i=1
                
                 P n
                
                     (yi − (c + bxi + ax2i ))x2i = 0
                
                      i=1

êîòîðóþ ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:
           
                      Pn           Pn         Pn
           
             cn  + b      xi  + a      x 2 =      yi
           
                                         i
           
            P         i=1          i=1        i=1
                 n          P 2
                              n           P 3 P
                                            n         n
              c     xi + b      xi + a        xi =      xi yi .
           
               i=1         i=1           i=1       i=1
           
               Pn           Pn            Pn         P
                                                      n
           
                   x2i + b      x3i + a      x4i =     x2i yi
            c
                    i=1          i=1           i=1       i=1

Ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé îáîçíà÷àþòñÿ a∗ , b∗ è c∗ . Ýòó ñèñòåìó óðàâ-
íåíèé óäîáíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íûõ îáîçíà÷åíèÿõ. Ââåäåì ñëåäóþ-
ùèå ìàòðèöû:
                           
                       y1                              
             c         ·          1 1 ··· 1
                           
       β =  b ,Y =            
                       ·  , X = x1 x2 · · · x10 =
                                                          
             a           ·          2     2
                                    x1 x2 · · · x10    2

                        y10
                                                       
                          1   1   ···             1
                        
                       = .2 .7 · · ·              4.7  .
                          .04 .49 · · ·           22.09

                                          99

Страницы