Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Q = (Y
T
− β
T
X)(Y − X
T
β) T β =
t.
˜
β β
∗
˜
β = β
∗
− S
−1
T
T
D
−1
(T β
∗
− t), D = T S
−1
T
T
.
Q(
˜
β) Q
0
= Q(β
∗
)
Q(
˜
β) = Q
0
+ Q
T
, Q
T
= (T β
∗
− t)
T
D
−1
(T β
∗
− t).
Q
T
σ
2
∝ χ
2
m
,
Q
T
m
:
Q
0
n−k
=
χ
2
m
m
:
χ
2
n−k
n−k
= F (m, n − k)
F (m, n − k)
T β = t Q
T
F (m, n − k). F
α
(m, n − k)
P (F (m, n − k) > F
α
(m, n − k)) = α. α
(F (m, n−k) < F
α
(m, n−k))
F (m, n − k)
F (m, n −k) < F
α
(m, n −k)),
σ
2
∗
=
1
n
n
P
i=1
(y
i
− a
∗
x
i
− b
∗
)
2
,
a
∗
= a +
n
P
i=1
x
i
δ
i
n
P
i=1
x
2
i
b
∗
= b +
n
P
i=1
δ
i
n
a b y
i
= ax
i
+b+δ
i
,
n
P
i=1
x
i
= 0, σ
2
∗
.
σ
2
∗
=
1
n
n
P
i=1
(y
i
− a
∗
x
i
− b
∗
)
2
.
y
i
− a
∗
x
i
− b
∗
= δ
i
−
1
n
n
X
k=1
δ
k
−
x
i
n
P
k=1
x
2
k
n
X
j=1
x
j
δ
j
,
Èùåòñÿ ìèíèìóì Q = (Y T − β T X)(Y − X T β) ïðè óñëîâèè T β =
t. Îêàçûâàåòñÿ, òî÷êà óñëîâíîãî ìèíèìóìà β̃ ñâÿçàíà ñ òî÷êîé β ∗
àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
              β̃ = β ∗ − S −1 T T D−1 (T β ∗ − t), D = T S −1 T T .
Îòíîñèòåëüíûé ìèíèìóì Q(β̃) è àáñîëþòíûé ìèíèìóì Q0 = Q(β ∗ )
ñâÿçàíû ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ
            Q(β̃) = Q0 + QT , QT = (T β ∗ − t)T D−1 (T β ∗ − t).
                                                                        2        χ2
Îêàçûâàåòñÿ QσT2 ∝ χ2m , ïîýòîìó QmT : n−kQ0
                                             = χmm : n−k
                                                      n−k
                                                          = F (m, n − k)
è F (m, n − k) íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ôèøåðà.
    Ïóñòü ãèïîòåçà T β = t âåðíà, òîãäà QT áëèçêà ê íóëþ, òîãäà
áëèçêà ê íóëþ è F (m, n − k). Ïóñòü îïðåäåëÿåòñÿ Fα (m, n − k) èç
óñëîâèÿ P (F (m, n − k) > Fα (m, n − k)) = α. . Åñëè α ìàëî, òî
(F (m, n − k) < Fα (m, n − k)) áëèçêî ê äîñòîâåðíîìó ñîáûòèþ. Ïîýòî-
ìó, åñëè âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå F (m, n − k) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåí-
ñòâó F (m, n − k) < Fα (m, n − k)), , òî ãèïîòåçà ïðèíèìàåòñÿ, åñëè íå
óäîâëåòâîðÿåò, òî ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ.

3.8.1     11-îå ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå. Ðåãðåññèîííûé àíàëèç
                                                            P
                                                            n
Çàäà÷à 9.16. Äëÿ âåëè÷èíû σ 2 ∗ =                       1
                                                        n       (yi − a∗ xi − b∗ )2 , ãäå
                                                            i=1
                                      P
                                      n                                 P
                                                                        n
                                          x i δi                                δi
                        ∗             i=1                   ∗         i=1
                        a =a+                       è b =b+
                                       Pn
                                                                            n
                                             x2i
                                       i=1
 îöåíêè äëÿ a è b â çàäà÷å äëÿ ëèíåéíîé ðåãðåññèè ñ yi = axi +b+δi ,
P
n
                    ∗
   xi = 0, íàéòè σ 2 .
i=1
                                P
                                n
      Ðåøåíèå. σ 2 ∗ =      1
                            n       (yi − a∗ xi − b∗ )2 .
                                i=1
                                     n              n
                    ∗           ∗ 1X          xi X
             yi − a xi − b = δi −       δk − n         xj δj ,
                                  n          P 2
                                    k=1         xk j=1
                                                                  k=1


                                                   97

Страницы