Лекции по устойчивости стержневых систем. Битюрин А.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

1.7. Методы Ритца и Тимошенко
Энергетический критерий служит основой для эффективных при-
ближенных методов решения задач устойчивости, кратко охарактеризованных
выше. Рассмотрим эти методы более подробно.
Примем, что изогнутая линия стержня при потере устойчивости прибли-
женно может быть представлена с помощью ряда
(1.7.1)
v —
Здесь под
понимаются функции х, удовлетворяющие геометрическим гра-
ничным условиям задачи, т. е. таким условиям, которые относятся к прогибам и
углам поворота. Подставим (1.7.1) в выражение для полной энергии системы
(1.6.8). Тогда энергия окажется зависящей от параметров прогиба f
i
. Вариацию
можно при этом представить как сумму вариаций, соответствующих воз-
можным изменениям параметров f
i
:
(1.7.2)
Так как рассматриваемые нами изогнутые состояния являются равновесными,
то вариация
по (1.6.10) должна быть равна нулю:
(1.7.3)
Но вариации
можно считать независимыми друг от друга; поэтому равенст-
во (1.7.3) будет иметь место, если каждый из множителей при
равен нулю:
будет
(1.7.4)
= 0, i = 1,2, ...,n.
Судя по (1.6.8), энергия должна являться квадратичной функцией параметров f
i
.
Вычисляя производные по f
i
мы получим линейные функции f
i
. Следовательно,
равенства (1.7.4) представляют собой систему п линейных алгебраических од-
нородных уравнений относительно f
i
, в коэффициенты при f
i
входит нагрузка
(1.7.5)
Уравнение (1.7.5) будет содержать нагрузку в степени п. Решая это уравнение,
мы получим п значений Р. Наименьшее из этих значений и будет приближен-
но отвечать первой критической силе. Подобный метод решения вариационных
задач носит название метода Ритца.
Результаты, получаемые с помощью первых приближений по методу Ритца,
можно несколько улучшить, представив выражение для энергии (1.6.8) в ином
виде. Пользуясь вторым из соотношений (1.5.4), напишем
э=
dx. (1.7.6)
Р. Если считать то условием наличия решения системы (1.7.4) будет яв
ляться равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов при

Страницы