Лекции по устойчивости стержневых систем. Битюрин А.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

Допустим, что изогнутая линия стержня приближенно представлена в виде
ряда (1.7.1). Тогда в числителе и знаменателе дроби (1.7.8) или (1.7.10) мы по-
лучим функции параметров f
i
. Желая найти наименьшее значение нагрузки,
приравняем нулю производные от Р по f
i
.
Изгибающий момент М в некотором сечении можно выразить через сжимаю-
щую силу Р и прогиб v. Затем следует идти тем же путем, что и при использо-
вании выражения (1.6.8). В этом случае нам не приходится вычислять вторых
производных от v, как это приходилось делать раньше. Но при аппроксимации
изогнутой линии обычно более или менее хорошо улавливается лишь общее
очертание кривой, в то время как приближенные значения вторых производных
сильно отличаются от истинных. Этим объясняется преимущество применения
выражения (1.7.6) по сравнению с (1.6.8).
Метод Ритца в приложении к линейным задачам устойчивости может быть
использован и в другой форме, указанной С. П. Тимошенко. Как мы видели,
при безразличном равновесии должно быть
Если рассматри-
вать весьма малые отклонения стержня, то можно принять полную энергию по-
стоянной: Э = const. Условимся, что нулевой уровень будет соответствовать
критической силе, и примем для Р = Р
кр
:
Э = U -W = 0. (1.7.7)
Это можно пояснить таким образом, что при продольном изгибе потенциальная
энергия деформации изгиба U оказывается в точности равной работе внешней
сжимающей нагрузки W. Пользуясь теперь выражением (1.6.8), находим
Р =
1
кр
(1.7.8)
Можно также воспользоваться вторым выражением для энергии (1.7.6).
Обозначаем через т изгибающий момент в некотором сечении, отвечающий
силе Р=1. Тогда вместо (1.7.6) можно написать
dx. (1.7.9)
(1.7.10)
Исходя из (1.7.7), находим теперь
Р =
= 0, i = 2,..., п. (1.7.11)
Для линейных задач мы получим тогда точно те же результаты, что и по
уравнениям (1.7.4).

Страницы