Лекции по устойчивости стержневых систем. Битюрин А.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

характеристическими или фундаментальными функциями. Характеристиче-
ские числа уравнения (1.10.10) определяют в нашем случае первую и высшие
критические нагрузки.
Таким образом, для определения первой критической нагрузки необходимо
определить наименьшее характеристическое число интегрального уравнения;
последнее заменяет дифференциальное уравнение задачи вместе с граничными
условиями.
Интегральные уравнения решаются с помощью различных приближенных
методов. Одним из наиболее распространенных методов является метод после-
довательных приближений, который уже рассматривался в 1.9. Другой метод
заключается в замене интегрального уравнения конечной системой линейных
алгебраических уравнений, для чего правая часть (1.10.10) преобразуется по
одной из формул приближенного интегрирования.
Но для определения характеристических чисел можно воспользоваться
также теорией симметричных интегральных уравнений Гильберт Шмидта.
Этот путь приводит к примечательным формулам, выражающим первое харак-
теристическое число через так называемые следы ядра. В первом приближении
можно принять
где S
2
второй след ядра, определяемый по формуле (1.10.12). Такой метод ин-
тересен тем, что определение критической нагрузки (характеристического чис-
ла) как бы отделяется от установления формы потери устойчивости (собствен-
ной функции), в то время как в предшествующих случаях эти задачи вы-
полнялись одновременно. Можно показать, что приближенное значение крити-
ческой нагрузки по (1.10.13) всегда лежит ниже истинного.
Формулу (1.10.13) для двойного интеграла можно преобразовать сле-
дующим образом. Разделим площадь интегрирования на два равных треуголь
(1.10.13)
S
2
= 2
Мы составляли до сих пор интегральное уравне-
ние, рассматривая задачу в линейной постановке. Если
принять точное выражение (1.1.2) для кривизны изо-
гнутой оси, то интегральное уравнение задачи окажет-
ся нелинейным. В литературе по нелинейным инте-
гральным уравнениям рассматривается вопрос о пра-
вомерности их линеаризации при определении бифур-
кационных точек задачи.
Рис. 1.10.2. К определению
величины S при симметричном
ядре
ника (рис. 1.10.2) линией
тогда, производя интегрирование по пло-
щади одного из этих треугольников, получим:
(1.10.14)

Страницы