Лекции по устойчивости стержневых систем. Битюрин А.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

Выпишем выражение для кривизны изогнутой оси стержня:
(1.1.1)
где / момент инерции поперечного сечения, М изгибающий момент в не-
котором сечении.
Общее выражение для кривизны имеет вид
(1.1.2)
где v прогиб в сечении х;
Будем считать здесь прогибы малыми по сравнению с длиной стержня.
Изогнутая ось будет тогда пологой кривой; считая (dv/dx) «1, можно при
этом принять
(1.1.3)
Изгибающий момент в сечении х равен
(1.1.4)
(1.1.5)
Получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси в виде
Как видно из рис. 1.1.1, а б, при изгибе стержня, соответствующим сплош-
ной линии, прогиб v положителен, а вторая производная отрицательна; таким
образом, в уравнение типа (1.1.5) прогиб и вторая производная входят с раз-
ными знаками. Исходя из этого, мы, независимо от правила знаков для х иМ,
приходим к одному и тому же уравнению.
В курсах сопротивления материалов последующее решение задачи ведут
исходя из уравнения второго порядка типа (1.1.5). Здесь мы перейдем от (1.1.5)
к уравнению четвертого порядка, так как это придаст решению более общий
характер и позволит распространить его на другие граничные условия.
Принимая EI=const, продифференцируем (1.1.5) дважды по х; тогда получим:
(1.1.6)
Это соотношение можно также непосредственно получить, исходя из из-
вестного уравнения упругой линии
(1.1.6а)
вводя фиктивную поперечную нагрузку интенсивностью q. Рассмотрим де-
формированный элемент стержня, находящийся под действием сжимающих
усилий Р (рис. 1.1.2, а); равнодействующая этих усилий, направленная вдоль
нормали, будет по рис. 1.1.2, б равна {—Р d
2
dv/dx
2
) dx, а величина q равна
q=Pd
2
v/dx
2
; отсюда приходим к (1.1.6).
Введем обозначение
(1.1.7)

Страницы