Лекции по устойчивости стержневых систем. Битюрин А.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

Изменяя число п, получаем последовательный ряд значений силы Р, которым
соответствуют различные искривленные равновесные формы.
Под критической силой мы условились понимать силу, при которой прямо-
линейная форма равновесия стержня перестает быть устойчивой. Следователь-
но, из всех возможных значений силы надо выбрать наименьшее и принять
п=1. Считая, что продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жест-
кости стержня, будем под / понимать минимальный момент инерции
сечения 7
min
.
Вводя для критической силы обозначение Р
кр
, получаем:
(1.1.16)
Формула такого вида была получена Л. Эйлером и носит его имя.
Вернемся к уравнению изогнутой оси стержня
Мы получили синусоиду, имеющую п полуволн. Критической силе
(при п — 1) соответствует синусоида с одной полуволной:
(1.1.18)
(1.1.17)
v= Asinkx =
здесь А = f- стрела прогиба.
Принимая последовательно п - 2, 3 и т. д., получим искривленные формы
равновесия в виде синусоиды с двумя, тремя и более полуволнами в пределах
длины стержня. При этом сила Р будет в четыре, девять и т. д. раз превышать
критическую величину.
Эти формы равновесия неустойчивы, но их можно осуществить, если перей-
ти к новой системе, поставив в точках перегиба синусоиды дополнительные
шарнирные подкрепления.
Нами подразумевалось, что сжимающее напряжение в стержне лежит в пре-
делах действия закона Гука, т. е. не превышает предела пропорциональности
материала; следовательно, формулой Эйлера можно пользоваться лишь при
этом условии. Напомним также, что мы применяем приближенное выражение
(1.1.3) для кривизны изогнутой оси, что является уместным лишь при прогибах,
достаточно малых по сравнению с длиной стержня. Именно поэтому величина
стрелы погиба f осталась в конечном счете неопределенной. С математической
точки зрения рассмотренная нами задача представляет собой задачу о собст-
венных значениях линейного однородного уравнения типа (1.1.5). Тривиальное
решение v = 0 относится к начальному, неискривленному равновесному со-
стоянию стержня. Нетривиальное решение соответствует так называемым соб-
ственным функциям задачи, которые в данном случае имеют вид (1.1.17). Пер-
вая и высшие критические силы (1.1.15) являются собственными значениями
параметра Р, входящего в основное уравнение, т. е. такими значениями Р, при
которых это уравнение имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее всем
граничным условиям задачи.

Страницы