Теория вероятностей и математическая статистика. Блатов И.А - 129 стр.

     Определение Сумма случайных величин Х и Y -
случайная величина X  Y , возможные значения которой равны
суммам каждого возможного значения X с каждым возможным
значением Y ; вероятности таких сумм равны произведениям
вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин –
произведениям вероятности одного слагаемого на условную
вероятность второго).
     Определение Произведение независимых случайных
величин Х и Y - случайная величина XY, возможные значения
которой равны произведениям всех возможных значений X на
все возможные значения Y , а соответствующие им вероятности
равны произведениям вероятностей сомножителей.

Математическое ожидание двумерных случайных величин
             Теорема Математическое ожидание суммы двух
случайных величин ( зависимых или независимых ) равно сумме
математических ожиданий слагаемых:
                         M  X  Y   M  X   M Y  .
                                 Доказательство
   Рассмотрим случайные величины, заданные рядами
распределения, тогда возможными значениями X  Y являются
x1  y1 , x1  y 2 , x2  y1 , x2  y 2 .
   Обозначим их вероятности соответственно р11, р12, р21 и р22.
    M  X  Y   x1  y1  p11  x1  y2  p12  x2  y1  p21  x2  y2  p22 
    x1  p11  p12   x2  p21  p22   y1  p11  p21   y2  p12  p22 
Докажем, что p11  p 22  p1 .
   Действительно, событие, состоящее в том, что X  Y
примет значения x1  y1 или x1  y 2 и вероятность которого
равна p11  p 22 , совпадает с событием, заключающемся в том,
что X  x1 (его вероятность – р1).
   Аналогично доказывается, что
           p 21  p 22  p 2 , p11  p 21  g1 , p12  p 22  g 2 .
          M  X  Y   x1 p1  x2 p2  y1 g 2  M  X   M Y  .

                                                                             129