Теория вероятностей и математическая статистика. Блатов И.А - 153 стр.

      Найдем p X  M  X   ε
                              .
D X    x1  M  X  p1   x2  M  X  p2     xn  M  X  pn
                        2                    2                         2

   Исключим из этой суммы те слагаемые, для которых
 X  M  X   ε. При этом сумма может только уменьшиться,
так как все входящие в нее слагаемые неотрицательны. Для
определенности будем считать, что отброшены первые k
слагаемых.
   Тогда
    D X   x k 1  M  X  p k 1  x k  2  M  X  p k  2   
                               2                            2


      xn  M  X 2 pn  ε2  pk 1  pk 2    pn  .
      Отметим, что p k 1  p k  2    p n есть вероятность того,
что     X  M  X   ε, так как это сумма вероятностей всех
возможных значений X , для которых это неравенство
справедливо. Следовательно,
                  D X   ε2
                                     
                              p X  M  X   ε,           
      или
                                                  D X 
                         p X  M  X                 .
                                                   2
      Тогда вероятность противоположного события
                                                  D X 
                        p X  M  X   ε
                                                         ,
                                                   ε2
   что и требовалось доказать.
       Пример Средний расход воды на ферме составляет
1000 л в день, а среднее квадратичное  =200 л. Оценить
вероятность того, что расход воды в любой выбранный день не
превысит 2000 л.
       Решение
   Т.к. границы интервала                0    2000          симметричны
относительно M [ ]  1000 и
      P{  2000}  P{0    2000}  P{   1000  1000} ,

                                                                      153