Теория вероятностей и математическая статистика. Блатов И.А - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУТИ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

157
б) измерения производятся без систематических ошибок (их
математические ожидания равны между собой и равны
истинному значению
a
измеряемой величины);
в) обеспечена определенная точность измерений,
следовательно, дисперсии рассматриваемых случайных величин
равномерно ограничены; то при достаточно большом числе
измерений их среднее арифметическое окажется сколь угодно
близким к истинному значению измеряемой величины.
Практическое значение теоремы Чебышева
Если все измерения проводятся с одинаковой точностью
2
, то дисперсия их средней
12
12
2
2
12
2
...
1
...
1
( [ ] [ ] ... [ ]) .
n
n
n
DD
nn
D D D
nn



Т.о., увеличивая число измерений, можно увеличивать
точность измерений.
Теорема Бернулли Если в каждом из
n
независимых
опытов вероятность
p
появления события
A
постоянна, то при
достаточно большом числе испытаний вероятность того, что
модуль отклонения относительной частоты появлений
A
в
n
опытах от
p
будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1:
1lim
ε
p
n
m
p
n
Доказательство
Введем случайные величины
, где
i
X
– число
появлений
A
в
i
-м опыте.
При этом
i
X
могут принимать только два значения:
а) 1(с вероятностью
p
)
б) 0 (с вероятностью
pq 1
). 
   б) измерения производятся без систематических ошибок (их
математические ожидания равны между собой и равны
истинному значению a измеряемой величины);
   в) обеспечена     определенная    точность    измерений,
следовательно, дисперсии рассматриваемых случайных величин
равномерно ограничены; то при достаточно большом числе
измерений их среднее арифметическое окажется сколь угодно
близким к истинному значению измеряемой величины.


Практическое значение теоремы Чебышева
  Если все измерения проводятся с одинаковой точностью
 , то дисперсия их средней
  2

             2  ...   n  1
        D 1                     n 2 D 1   2  ...   n  
                  n           
          1                                       2
         2 ( D[1 ]  D[ 2 ]  ...  D[ n ])       .
         n                                         n
   Т.о., увеличивая число измерений, можно увеличивать
точность измерений.

    Теорема Бернулли Если в каждом из n независимых
опытов вероятность p появления события A постоянна, то при
достаточно большом числе испытаний вероятность того, что
модуль отклонения относительной частоты появлений A в n
опытах от p будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1:
                           m          
                     lim p  p  ε     1
                     n 
                            n          
                        Доказательство
   Введем случайные величины X 1 , X 2 , , X n , где X i – число
появлений A в i -м опыте.
   При этом X i могут принимать только два значения:
   а) 1(с вероятностью p )
                б) 0 (с вероятностью q  1  p ).

                                                                     157

Страницы