Теория вероятностей и математическая статистика. Блатов И.А - 158 стр.

   Кроме того, рассматриваемые случайные величины попарно
независимы и их дисперсии равномерно ограничены (так как
D X i   pq , p  q  1 , откуда pq 
                                  1
                                    ). Следовательно, к ним
                                  4
можно применить теорему Чебышева при M i  p :
                     X  X2  Xn      
              lim p 1             p ε  1 .
              n 
                            n            
   Но
                      X1  X 2    X n m
                                           
                               n             n
    так как X i принимает значение, равное 1, при появлении A
в данном опыте, и значение, равное 0, если A не произошло.
Таким образом,
                             m         
                       lim p  p  ε    1
                       n 
                              n         
    что и требовалось доказать.
     Замечание Из теоремы Бернулли не следует, что
     m
lim  p
n  n

    Речь идет лишь о вероятности того, что разность
относительной частоты и вероятности по модулю может стать
сколь угодно малой.
    Разница заключается в следующем: при обычной
сходимости, рассматриваемой в математическом анализе, для
                                                     m
всех n , начиная с некоторого значения, неравенство    p ε
                                                     n
выполняется всегда; в нашем случае могут найтись такие
значения n , при которых это неравенство неверно.
    Этот вид сходимости называют сходимостью по
вероятности.
       Замечание Теорема Бернулли – следствие теоремы
                                                       m
Чебышева, т.к. статистическую вероятность события      n

   158