Теория вероятностей и математическая статистика. Блатов И.А - 161 стр.

   2) Если случайные величины X и Y связаны соотношением
Y  Ax , то их характеристические функции связаны
соотношением
                         gyt   gxat  .
   3) Характеристическая функция суммы независимых
случайных величин равна произведению характеристических
                                            n
функций слагаемых: для Y   X k
                                           k 1

                            g y t   g x1 t   g x2 t   g xn t 
      Теорема (центральная предельная теорема) Если
X 1 , X 2 ,, X n - независимые случайные величины с
одинаковым        законом  распределения, математическим
ожиданием m и дисперсией σ2 , то при неограниченном
                                                                                  n
увеличении          n     закон распределения суммы                          Yn   X k
                                                                                 k 1
неограниченно приближается к нормальному.
      Доказательство
      Докажем теорему для непрерывных случайных величин
 X 1 , X 2 ,  , X n (доказательство для дискретных величин
аналогично). Согласно условию теоремы, характеристические
функции слагаемых одинаковы:
                                                  
                                    g x t    e itx f x dx
                                                  
     Тогда по свойству 3 характеристическая функция суммы Yn
будет g y n t   g xn t  .
     Разложим функцию g x t  в ряд Маклорена:
                                       g  0        
     g x t   g x 0  g x 0t   x         αt t 2
                                       2               
     Где  t   0 , при t  0 .
     Найдѐм:


                                                                                      161