Теория вероятностей и математическая статистика. Блатов И.А - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУТИ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

162
     
 



imdxxxfi
dxxfxeidxxfixegdxxfg
t
itx
t
itx
xx
0
0
0,10
Если предположить, что
0m
( то есть перенести начало
отсчета в точку
m
), то
00
x
g
.


22
0
2
0
σ
dxxfxdxxfexg
t
itx
x
Подставив полученные результаты в формулу Маклорена,
найдем, что
2
2
2
1 tt
α
σ
tg
x
.
Рассмотрим новую случайную величину
,
отличающуюся от
n
Y
тем, что ее дисперсия при любом
n
равна
0.
Так как
n
Y
и
n
Z
связаны линейной зависимостью, достаточно
доказать, что
n
Z
распределена по нормальному закону, или, что
то же самое, что ее характеристическая функция приближается к
характеристической функции нормального закона. По свойству
характеристических функций
n
n
xyx
n
σ
t
n
σ
t
α
σ
n
σ
t
g
n
σ
t
gtg
nn
2
22
2
1
Прологарифмируем полученное выражение:
kntg
n
x
1lnln
, 
                                                                        
   g x 0           f x dx  1, g x 0    ixeitx f  x dx t 0  i  xe itx f  x dx
                                                                        
              

    t 0    i  xf x dx  im
              
Если предположить, что m  0 ( то есть перенести начало
отсчета в точку m ), то g x 0   0 .
                                                 
   g x 0    x e f x dx t 0    x 2 f x dx  σ2
                          2 itx

                                                 
   Подставив полученные результаты в формулу Маклорена,
найдем, что
                                    σ2         
                   g x t   1       αt t 2 .
                                    2          
                                                                                       Yn
   Рассмотрим               новую        случайную          величину         Zn             ,
                                                                                     σn
отличающуюся от Yn тем, что ее дисперсия при любом n равна
0.
   Так как Yn и Z n связаны линейной зависимостью, достаточно
доказать, что Z n распределена по нормальному закону, или, что
то же самое, что ее характеристическая функция приближается к
характеристической функции нормального закона. По свойству
характеристических функций
                                                                        n
                                           t    t 
                         g xn t   g yn         g x    
                                           σ n    σ n 
                                                                 n
                              σ2      t   t 2 
                          1    α       2
                              2       σ n   nσ 
   Прологарифмируем полученное выражение:
                    ln g xn t   n ln 1  k  ,



   162

Страницы