Теория вероятностей и математическая статистика. Блатов И.А - 163 стр.

             σ2      t      t 2
   где k      α          , lim k  0 .
                    σ n   nσ n  
                               2
             2
   Разложим ln1  k  в ряд при n   , ограничившись двумя
членами разложения, тогда ln 1  k    k . Отсюда
                                              t2    t  t2 
    lim ln g xn t   lim n   k   lim   α     2  
    n                n              n 
                                              2    σ n σ 
         t2          t2  t 
       lim 2 α                ,
         2 n  σ  σ n 
где последний предел равен 0, так как αt   0 при t  0 .
                                                                     t2
                                       t2                           
   Следовательно, lim ln f x n t    , то есть lim g x n t   e 2 -
                  n                  2          n

характеристическая функция нормального распределения.
   Итак, при неограниченном увеличении числа слагаемых
характеристическая функция величины Z n неограниченно
приближается к характеристической функции нормального
закона; следовательно, закон распределения Z n ( и Yn )
неограниченно приближается к нормальному. Теорема доказана.
   Ляпунов Александр Михайлович(1857-1918).Русский
математик и механик. Исследовал проблемы устойчивости
движения материальных систем. Методы, предложенные
Ляпуновым, применяются во многих разделах теории
дифференциальных уравнений. Дал простое и строгое
доказательство центральной предельной теоремы в общем виде.
Для доказательства разработал метод характеристических
функций, который широко применяется в современной теории
вероятностей.
      Замечание (практическое значение предельной теоремы)
Пусть производится измерение некоторой физической
величины. Каждое из измерений является приблизительным, на
него влияют многие факторы – температура, колебания прибора,
влажность и т.д. Каждый из факторов порождает ничтожно
малую ошибку, но совокупность факторов – заметную

                                                                   163