Теория вероятностей и математическая статистика. Блатов И.А - 165 стр.

   Муавр Абрахам (1667-1754) - английский математик.
Труды по теории рядов, теории вероятностей, теории
комплексных чисел. В теории вероятностей доказал важную
предельную теорему (1730). В теории комплексных чисел вывел
правила возведения в степень и извлечения корней.
   Лаплас Пьер Симон (1749-1827) -французский математик,
физик и астроном. Фундаментальные работы по математике,
экспериментальной и математической физике и небесной
механике. Является одним из создателей теории вероятностей.
Доказал важную предельную теорему, развил теорию ошибок.
Ввел теоремы сложения и умножения вероятностей, понятия
производящих функций и математического ожидания.
    Теорема (теорема Муавра-Лапласа) Если производится
n независимых опытов, в каждом из которых событие A
появляется с вероятностью p , то справедливо соотношение:
                     Y  np    
                p α         β  Φ β  Φα ,
                               
                       npq     
где Y – число появлений события A в n опытах, q  1  p .
   Доказательство
                             n
   Будем считать, что Y   X i , где X i – число появлений
                            i 1
события A в i -м опыте.
                                      Y  my
   Тогда случайную величину Z                 можно считать
                                        σy
распределенной по нормальному закону и нормированной,
следовательно, вероятность ее попадания в интервал α,β    
можно найти по формуле
                   pα Z  β  Φ β  Φα .
    Поскольку Y имеет биномиальное распределение, m y  np ,
                    D y  npq ,  y  npq .



                                                            165