Теория вероятностей и математическая статистика. Блатов И.А - 236 стр.

   Доверительный      интервал     для     оценки
математического       ожидания        нормального
распределения при известной дисперсии

   Пусть исследуемая случайная величина X распределена по
нормальному закону с известным средним квадратическим  , и
требуется по значению выборочного среднего x оценить
математическое ожидание a . Будем рассматривать выборочное
среднее x , как случайную величину X , а значения вариант
выборки     x1 , x2 ,, xn как одинаково   распределенные
независимые случайные величины X 1 , X 2 ,, X n , каждая из
которых имеет математическое ожидание a и среднее
квадратическое отклонение  .
   Оценим вероятность выполнения неравенства X  a   .
Применим формулу для вероятности попадания нормально
распределенной случайной величины в заданный интервал:

                                      
                       p X  a    2Ф 
                                        
                                                    
                                                    .
                                                    
                                           
   Тогда, с учетом того, что  X         n
                                                ,

                                     n 
                               
                  p X  a    2Ф 
                                      
                                           2Ф  t  ,

           n
где t        ,
           
предыдущее равенство можно переписать так:
                          t           t
                  p (x        a  x     )  2Ф(t )   .
                            n            n
   Итак, значение математического ожидания                    a   с
вероятностью (надежностью)  попадает в интервал



   236