Теория вероятностей и математическая статистика. Блатов И.А - 24 стр.

   Формула Стирлинга

     Формула Стирлинга дает приближенное выражение
произведения n первых натуральных чисел (факториала):
n !  1  2  3  n , когда число n сомножителей велико, получена
Джеймсом. Стирлингом.
     Джеймс. Стирлинг(1692-1770) шотландский математик.
Труды по теории рядов и исчислению конечных разностей,
рассмотрел бесконечные произведения.
     По определению полагают 0!  1 .
     Факториал определѐн только для целых неотрицательных
чисел. Эта функция часто используется в комбинаторике, теории
чисел и функциональном анализе.
     Формула Стирлинга
                         n !  nn  e n  2    n
     Приближенное равенство носит асимптотический характер,
т.е. уточняется с ростом n .
     Для     краткости       удовлетворимся      правдоподобным
рассуждением (не выдавая его однако за строгое
доказательство), но удобное для запоминания.
     По определению факториал
                              n !  1 2  3  n
     Заменим n! произведением такого ж количества одинаковых
сомножителей: n! x  x  x  x  x n ,где x - своего рода "среднее
факториальное" первых n натуральных чисел. Оно разумеется
растет вместе с n .
   Сделаем простейшее предположение, что при больших n это
среднее факториальное приблизительно пропорционально n :
                                       n
                                  x     ,
                                       a
где a - почти постоянная величина.
                     n
                n
   Тогда    n!~  
                a
   и характерное тождество для факториала

   24