Элементы теории множеств. Близняков Н.М. - 5 стр.

(имен), отвечающих одному элементу, сколько угодно раз, и, значит,
всякое множество может быть записано бесконечным числом способов.
Например, множество из трех чисел 0, 1, 2 можно записать {0, 1, 2}, а
также {2, 0, 1, 0} или {1, 0, 2, 2, 1, 2} и т. д. Использование такой непонят-
ной на первый взгляд системы записи множества целесообразно уже
потому, что избавляет от необходимости проверять единственность запи-
си каждого элемента и возникающих при этом не всегда преодолимых
трудностей. Д
            ля конечных множеств с большим числом элементов такая
проверка может быть весьма              трудоемкой, а для бесконечных мно-
жеств є и вовсе не всегда возможной. Ситуация осложняется еще тем,
что один и тот же элемент в символьной записи множества может высту-
пать под разными именами, и задача выяснения того, что под разными
именами скрывается один и тот же элемент, может быть совсем непро-
стой. Рассмотрим, например, множество {a, b}, элементом a которого
является пустое множество, а элементом b є множество всех положи-
тельных целочисленных решений уравнений xn + y n = z n для всех нату-
ральных n > 2. Задача выяснения совпадения элементов a и b составляет
знаменитую проблему Ферма, на решение которой математикам потре-
бовалось более 350 лет.
    Подчеркнем, наконец, что при рассмотрении вопросов, связанных с
подсчетом числа элементов множества, естественно, используются толь-
ко такие записи множеств, в которых каждому элементу соответствует
лишь один символ.
    Множества A и B, состоящие из одних и тех же элементов, называют
равными и пишут: A = B.
    На практике д л я д о к а з а т е л ь с т в а р а в е н с т в а д в у х м н о-
ж е с т в п о к а з ы в а ю т, ч т о в с я к и й э л е м е н т о д н о г о м н о ж е-
с т в а п р и н а д л е ж и т д р у г о м у, и н а о б о р о т.
    П р е д у п р е ж д е н и е. Не следует смешивать одноэлементное
множество {a} с его единственным элементом a. Отождествление мно-
жества {a} с элементом a может приводить к недоразумениям: если


                                            5