Цифровая обработка ТВ сигналов. Часть 1. Бобрешов А.М - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
где
;
2
0
T
π
ω =
Т – период повторения
сигнала x(t).
Действительные коэффициенты ряда Фурье a
k
b
k
определяются
соотношениями
.sin)(
2
,cos)(
2
,)(
2
0
2/
2/
0
2/
2/
2/
2/
0
tdtktx
T
b
tdtktx
T
a
dttu
T
a
T
T
k
T
T
k
T
T
ω
ω
∫
∫
∫
−
−
−
=
=
=
(2.6)
В комплексной форме разложение в ряд Фурье имеет вид
,)(
0
tjk
k
k
eCtx
ω
∑
∞
−∞=
=
где
∫
−
−
=
2/
2/
0
)(
1
T
T
tjk
k
dtetx
T
С
ω
- комплексные амплитуды гармоник;
j – мнимая единица.
В ряд Фурье может быть разложен не только периодический сигнал,
имеющий период Т, но и сигнал, отличный от 0 только на интервале времени (-
Т/2, Т/2). В этом случае используется периодическое продолжение сигнала на
всю ось времени с периодом Т.
Рассмотрим дискретный сигнал x(n), отличный от 0 при n = 0,1,… ,N-1.
Для такого сигнала также можно ввести разложение по базису синусоидальных
функций . Так как частотный спектр дискретизируемого сигнала должен быть
ограничен сверху в соответствии с условием теоремы Котельникова , в
разложении дискретного сигнала остается конечное число частотных
составляющих, представляющих собой дискретные комплексные
гармонические функции. Такое разложение, называемое дискретным
преобразованием Фурье (ДПФ), имеет вид
⋅=
N
nx
1
)(
∑
−
=
1
0
)
2
(
)(
N
k
nk
N
j
ekX
π
, n = 0,1… N-1, (2.8)
где коэффициенты ДПФ Х(k) определяются соотношением
N
kX
1
)( =
·
∑
−
=
−
1
0
2
)(
N
n
nk
N
j
enx
π
k = 0,1… N-1. (2.9)
(2.7)
                                                                18
            2π
где ω 0 =      ; Т – период повторения сигнала x(t).
            T
     Д ей ствительны е коэффициенты                                  ряда Ф урье ak           bk определяю тся
соотнош ениям и
                           T /2
                     2
                a0 =
                     T       ∫ u(t )dt,
                           −T / 2
                           T /2
                     2
                ak =
                     T       ∫ x(t ) coskω tdt,
                           −T / 2
                                                     0
                                                                                                      (2.6)
                           T /2
                     2
                bk =
                     T       ∫ x(t ) sin kω
                           −T / 2
                                                     0   tdt.

      В ком плексной форм еразлож ениевряд Ф урьеим еетвид
                                         ∞
                      x (t) =          ∑
                                      k = −∞
                                                C ke      jk ω 0 t
                                                                        ,
                                                                                                      (2.7)


                    T /2
            1
                     ∫ x (t ) e
                                    − jkω 0 t
где
       Сk =                                     dt   - ком плексны еам плитуды гарм оник;
            T     −T / 2

j – м ним ая единица.
       В ряд Ф урье м ож ет бы ть разлож ен не только периодический сигнал,
им ею щ ий период Т, но и сигнал, отличны й от0 только на интервалеврем ени (-
Т/2, Т/2). В этом случае используется п ериодическое п родолж ение сигна ла на
всю осьврем ени с периодом Т.
       Рассм отрим дискрет ны й сигна л x(n), отличны й от 0 при n = 0,1,… ,N-1.
Д ля такого сигнала такж ем ож но ввести разлож ениепо базису синусоидальны х
функций . Т ак как частотны й спектр дискретизируем ого сигнала долж ен бы ть
ограничен сверху в соответствии с условием теорем ы К отельникова, в
разлож ении дискретного сигнала остается конечное число частотны х
составляю щ их,     представляю щ их     собой     дискретны е    ком плексны е
гарм онические функции. Т акое разлож ение, назы ваем ое дискретны м
преобразованием Ф урье(Д П Ф ), им еетвид
                                      N −1                    2π
                           1
                                      ∑ X ( k )e
                                                         j(      ) nk
              x(n) =         ⋅                                N
                                                                            , n = 0,1… N-1,            (2.8)
                           N          k =0

гдекоэффициенты Д П Ф Х(k) определяю тся соотнош ением
                                                     2π
                       1 N −1           − j nk
         X (k ) =        ·∑
                                           N
                              x ( n ) e                                       k = 0,1… N-1.            (2.9)
                       N n =0

Страницы