Основы химической метрологии и хемометрики. Ч.1. Бобрешова О.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 1. Функция плотности вероятности нормально распределенной случайной
величины
2
2
1(μ)
() exp
2σ
σ 2π
x
x
⎛⎞
−−
ϕ=
⎜
⎝⎠
⎟
. (7)
Распределения, удовлетворяющие соотношению (7), называют нор-
мальными, а закон распределения – нормальным законом распределения
случайных величин Гаусса.
Основные принципы закона нормального распределения:
1) φ(x)
≥ 0;
2) площадь, ограниченная функцией φ(x) и осью x, всегда равна еди-
нице, т. е. то, что случайная величина примет любое значение из интервала
своего существования, является достоверным событием:
() 1;xdx
+∞
−∞
ϕ
=
∫
(8)
3) φ(x) симметрична относительно оси x = μ, т. е. случайные погреш-
ности, равные по величине и обратные по знаку, равновероятны:
μ
μ
μμ
() () ;
а
а
x
dx x dx
+
−
ϕ=ϕ
∫∫
(9)
4) φ(x) имеет максимум при x = μ, т. е. наиболее вероятным является
среднее значение, а вероятность случайных ошибок тем меньше, чем
больше их абсолютные значения:
0
d
dx
ϕ
=
при x = μ; (10)
5) φ(x) имеет две точки перегиба:
2
2
0
d
dx
ϕ
=
при x = μ ± σ; (11)
6) изменение параметра μ (математического ожидания) при посто-
янной σ определяет смещение кривой по оси x (рис. 2);
9
     Рис. 1. Функция плотности вероятности нормально распределенной случайной
                                   величины

                                    1      ⎛ −( x − μ) 2 ⎞
                          ϕ( x) =      exp ⎜       2     ⎟.           (7)
                                  σ 2π     ⎝ 2σ          ⎠
    Распределения, удовлетворяющие соотношению (7), называют нор-
мальными, а закон распределения – нормальным законом распределения
случайных величин Гаусса.
    Основные принципы закона нормального распределения:
    1) φ(x) ≥ 0;
    2) площадь, ограниченная функцией φ(x) и осью x, всегда равна еди-
нице, т. е. то, что случайная величина примет любое значение из интервала
своего существования, является достоверным событием:
                                    +∞

                                    ∫ ϕ( x)dx = 1;
                                    −∞
                                                                           (8)

    3) φ(x) симметрична относительно оси x = μ, т. е. случайные погреш-
ности, равные по величине и обратные по знаку, равновероятны:
                            μ+а                  μ

                             ∫
                             μ
                                  ϕ( x ) dx =    ∫
                                                μ−а
                                                      ϕ( x ) dx;           (9)

    4) φ(x) имеет максимум при x = μ, т. е. наиболее вероятным является
среднее значение, а вероятность случайных ошибок тем меньше, чем
больше их абсолютные значения:
                                 dϕ
                                    = 0 при x = μ;                        (10)
                                 dx
    5) φ(x) имеет две точки перегиба:
                            d 2ϕ
                                 = 0         при x = μ ± σ;               (11)
                            dx2
    6) изменение параметра μ (математического ожидания) при посто-
янной σ определяет смещение кривой по оси x (рис. 2);
                                         9

Страницы