Математические методы принятия решений. Бодров В.И - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Q
u
u
1
а)
Q
u
u
1
б)
Q
u
u
1
в)
Рис. 2.2 Функции Q(u), удовлетворяющие необходимым
условиям экстремума:
а – производная равна нулю; б – производная не существует;
в – производная равна бесконечности
Названные условия являются лишь необходимыми условиями. Их выполнение не означает еще, что в
данных точках функция имеет экстремум (рис. 2.2).
Для того, чтобы определить, действительно ли в исследуемой точке существует экстремум, необхо-
димо проверить выполнение достаточных условий одним из методов, приведенных ниже.
1 Сравнение значений функций. Этот способ сводится к определению значений функции в точках,
расположенных слева и справа в достаточной близости от исследуемой точки, т.е. в точках (u
1
– ε), (u
1
+
ε), где ε – малая положительная величина. Если Q(u
1
) > Q(u
1
– ε) и
Q(u
1
) > Q(u
1
+ ε), то в точке u
1
существует максимум (рис. 2.3). Если Q(u
1
) < Q(u
1
– ε) и Q(u
1
) < Q(u
1
+ ε),
то в точке u
1
существует минимум (рис. 2.3, б). Если же Q(u
1
) будет занимать промежуточное положение
между Q(u
1
– ε) и Q(u
1
+ ε), например, Q(u
1
) > Q(u
1
–
ε
) и Q(u
1
) < Q(u
1
– ε), то в точке u
1
экстремума не бу-
дет (рис. 2.3, в).
2 Сравнение знаков производной. При этом способе определяется знак первой производной функ-
ции
u
Q
uQ
d
d
)( −
в точках (u
1
– ε) и
(u
1
+ ε). Если знаки производных различны, то в точке u
1
имеется экстремум функции Q(u), причем, ес-
ли при переходе от точки (u
1
– ε) к точке (u
1
+ ε) знак производной изменяется с "+" на "–", то в точке
u
1
– максимум (рис. 2.3, а). Если же знак меняется с "–" на "+", то в точке u
1
– минимум (рис. 2.3, б).
Если же знаки производных в точках (u
1
– ε) и (u
1
+ ε) одинаковы, то в точке u
1
экстремума нет (рис.
2.3, в).
3 Исследование знаков высших производных. Этот способ применяется в тех случаях, когда ис-
следуемая функция имеет производные высших порядков. Если в точке u
1
выполняется необходимое
условие экстремума, т.е. 0
d
d
1
=
u
u
Q
и существует вторая производная –
2
2
d
d
u
Q
, значение которой вычисля-
ется в "подозреваемой" точке u
1
, то точка u
1
является точкой максимума, если 0
d
d
1
2
2
<
u
u
Q
, и точкой ми-
нимума,
если 0
d
d
1
2
2
>
u
u
Q
.
Q
u
u
а)
Q
u
б)
Q
u
в)
u–ε u+ε
u
u–ε u+ε
u
u–ε u+ε
(+)
(–)
(–)
(+)
(+)
(+)
Рис. 2.3 Проверка достаточных условий экстремума:

Страницы