Математические методы принятия решений. Бодров В.И - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

должны быть строго положительны.
Квадратичная форма будет отрицательно определенной, если все главные миноры матрицы A,
имеющие нечетный порядок, отрицательны, а, имеющие четный порядок, положительны, т.е. ∆
1
< 0, ∆
3
< 0, ...,
∆
2
> 0, ∆
4
> 0.
Если квадратичная форма является положительно определенной, то исследуемая точка является точкой
минимума, если же квадратичная форма будет отрицательно определенной, то в точке {u
ι
} имеет место мак-
симум.
Возможен случай, когда все главные миноры отличны от нуля, но условия положительной или от-
рицательной определенности квадратичной формы не выполняются, в этом случае в исследуемой точке
функция не имеет ни максимума, ни минимума. В случае обращения в нуль главных миноров матрицы
A, вопрос о наличии экстремума в исследуемой точке решается более сложно с использованием произ-
водных более высокого порядка.
П р и м е р 2.1.
Пусть в реакторе идеального смешения протекает реакция первого порядка (A → P). Требуется оп-
ределить оптимальные условия – время пребывания и температуру, при которой себестоимость продук-
та P будет минимальной.
Критерий оптимальности – себестоимость задается функцией
()
,11
1
),(
21
02210
21
++
+
+=
uu
xu
C
uuUx
C
CuuQ
A
v
A
q
A
где u
1
– время пребывания, u
2
– константа скорости химической реакции, связанная с температурой
уравнением Аррениуса u
2
= exp(– E / RT), E и R – константы; С
А
– стоимость единицы расходуемого сы-
рья;
С
q
– стоимость дополнительного оборудования реактора, исчисляемая с учетом амортизации; С
v
–
стоимость единицы объема реактора, исчисляемая с учетом его амортизации; U – нагрузка реактора по
исходному сырью; x
A0
– начальная концентрация вещества А.
Необходимые условия экстремума функции Q(u
1
, u
2
) дают систему уравнений:
=−
+−=
∂
∂
=+
+−=
∂
∂
.0
1
;0
1
0
2
2
2
21
02
0
2
2
1
01
A
v
A
q
A
A
v
A
q
A
xu
C
uu
Ux
C
C
u
Q
x
C
uu
Ux
C
C
u
Q
Последнее уравнение не удовлетворяет ни каким значениям u
1
, u
2
, поэтому разумно выдерживать
максимально возможную температуру ведения процесса, что определит значение u
2
. Оптимальное зна-
чение времени пребывания, соответствующее принятому значению температуры в этом случае опреде-
лится как
.
5,0
2
0
опт1
+
=
UuC
CUxC
u
v
qAA
Минимальная себестоимость составит
.1
2
5,0
2
0
2
02
опт
+
+=
UuC
CUxC
u
xu
C
Q
v
qAA
A
v
П р и м е р 2.2.
Найти экстремум функции Q (u
1
, u
2
) =
21
4
2
4
1
4 uuuu −+
.
Необходимые условия экстремума записываются в виде системы:

Страницы