Математические методы принятия решений. Бодров В.И - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
=−=
∂
∂
=−=
∂
∂
.044
;044
)(
1
3
2
2
21
2
3
1
1
21
uu
u
uuQ
uu
u
uuQ
Решение полученной системы уравнений дает три подозрительные точки на экстремум: (0, 0); (1, 1);
(–1, –1). Для определения существования экстремума в найденных точках требуется проверить доста-
точные условия. С этой целью составляется матрица
−
−
=
=
2
2
2
1
2
2
2
12
2
21
2
2
1
2
124
412
u
u
u
Q
uu
Q
uu
Q
u
Q
A
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
.
В найденных точках
,
04
40
)0,0(
−
−
=A
−
−
=−−=
124
412
)1,1()1,1( AA
.
Матрица А(0, 0) – знаконеопределена, следовательно, точка (0, 0) не является экстремальной. Мат-
рицы А(1, 1) и А(–1, –1) положительно определенные (∆
1
= 12 > 0, ∆
2
= 128 > 0), поэтому в точках (1, 1) и
(–1, –1) будет минимум – Q
min
= –2.
2.3 Метод неопределенных множителей Лагранжа
Условия экстремума функции, которые рассмотрены выше, позволяют найти, так называемый, без-
условный экстремум. Однако, в большинстве практических задач принятия решения требуется принять
решение – определить экстремум критерия оптимальности при условии, что на независимые перемен-
ные наложены ограничения, имеющие вид равенств. Типичными примерами подобных задач служат
задачи, в которых требуется оптимальным образом распределить заданное количество ресурсов, чтобы
принятая оценка эффективности процесса имела при этом максимальное или минимальное значение.
Для решения таких задач в классическом анализе используется метод неопределенных множителей
Лагранжа. Сами задачи получили название задач на условный экстремум.
2.3.1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Пусть требуется найти экстремум функции, например, минимум
Q (u
1
, u
2
, ..., u
n
) → min (2.3)
при условии
ϕ
ι
(u
1
, u
2
, ..., u
n
) = 0, ι = k,1 . (2.4)
Согласно методу Лагранжа для решения задач на условный экстремум функции составляется вспо-
могательная функция Лагранжа, которая определяется соотношением
∑
=ι
ιι
ϕλ+=λλ
k
nnkn
uuuuQuuuQ
1
11121
),...,,()...,,()...,,...,,,( (2.5)
где λ
ι
, ι = k,1 – неопределенные множители Лагранжа.

Страницы