Математические методы принятия решений. Бодров В.И - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции (2.3) сводится к задаче нахожде-
ния безусловного экстремума функции (2.5), но число неизвестных в ней n + k (u
ι
, ι = n,1 ; λ
j
, j = k,1 ).
Как известно из п. 2.2 необходимым условием безусловного экстремума функции является равенство
нулю частных производных, которые для данного конкретного случая записываются в виде
.,1;0
),(
...
)...,,()...,,(
111
1
1
n
u
uu
u
uu
u
uuQ
nk
k
nn
=ι=
∂
∂ϕ
λ++
∂
∂ϕ
λ+
∂
∂
ιιι
(2.6)
и дает n уравнений для определения неизвестных. Эта система уравнений дополняется к уравнениям (2.4)
и, следовательно, получается (n + k) неизвестных и (n + k) уравнений.
Метод множителей Лагранжа дает лишь необходимые условия существования условного экстрему-
ма для непрерывных функций, имеющих также непрерывные производные, поэтому найденные значе-
ния переменных могут и не давать экстремума функции Q (u
1
, ..., u
n
), их надо проверить с использова-
нием достаточных условий экстремума функции многих переменных.
В окончательном решении задачи фактически множители Лагранжа не известны, поэтому задача
совместного решения системы (2.4), (2.6) иногда ставится как задача исключения "k" неизвестных пере-
менных u
ι
с последующим решением остающейся системы n уравнений с n неизвестными.
Задача Лагранжа имеет "n – k" степеней свободы.
2.3.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕТОДА МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Интерес представляют геометрический смысл множителей Лагранжа. Для такой интерпретации
лучше рассмотреть задачу с двумя неизвестными и одним ограничением.
Пусть требуется найти минимум функции Q = Q(u
1
, u
2
) → min при условии ϕ (u
1
, u
2
) = 0. Если ми-
нимум существует, то в пространстве функция Q должна иметь вид воронки, а условие связи – это не-
которая поверхность (рис. 2.4).
На рис. 2.4, б изображены на плоскости переменных u
1
, u
2
линии уровня функции Q (u
1
, u
2
) и огра-
ничение ϕ (u
1
, u
2
) = 0, представляю-
щее собой линию. Составляется вспомогательная функция
Q (u
1
, u
2
) =
= Q (u
1
, u
2
) + λϕ (u
1
, u
2
). Необходимое условие экстремума дает:
Q
u
1
u
2
∇
ϕ
ϕ
(u
1
, u
2
) = 0
Q = const
u
u
2
u
1
а) б)
∇
Q
A
Рис. 2.4 Геометрический смысл множителей Лагранжа:
а – пространственное изображение;
б – изображение проекции на плоскость u
2
– u
1
=
∂
∂ϕ
λ+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂ϕ
λ+
∂
∂
=
∂
∂
;0
;0
222
111
uu
Q
u
Q
uu
Q
u
Q
или
∂
∂ϕ
λ−=
∂
∂
∂
∂ϕ
λ−=
∂
∂
.
;
22
11
uu
Q
uu
Q
. (2.7)

Страницы